Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

246 13 Konvergenz von Maßen
Beweis. Nach Übung 1.1.3 ist Uϕ ⊂ E1 Borel-messbar. Also sind die angegebenen
Bedingungen sinnvoll.
(i) Sei f ∈ Cb(E2).Dannistf◦ϕ beschränkt und messbar, und es ist Uf◦ϕ ⊂ Uϕ,
also μ(Uf◦ϕ) =0. Nach Satz 13.16 ist
�
�
lim
n→∞
fd � μn ◦ ϕ −1� = lim
n→∞
(f ◦ ϕ) dμn
�
�
= (f ◦ ϕ) dμ = fd � μ ◦ ϕ −1� .
(ii) Dies ist klar, wegen P ϕ(X) = PX ◦ ϕ −1 . ✷
Übung 13.2.1. Man zeige: Für d ′ P aus (13.4) und μ, ν ∈M1(E) gilt: dP (μ, ν) =
d ′ P (μ, ν) =d′ P (ν, μ). ♣
Übung 13.2.2. Man zeige: Die Topologie der schwachen Konvergenz auf Mf (E)
ist gröber als die von der Totalvariation (siehe Korollar 7.45) erzeugte Topologie auf
n→∞
n→∞
Mf (E). Das heißt, es gilt �μn − μ�TV −→ 0,sogiltμn−→
μ schwach. ♣
Übung 13.2.3. Sei E = R und μn = 1 �n n k=0 δk/n sowie μ = λ � � das auf [0, 1]
[0,1]
eingeschränkte Lebesgue-Maß. Man zeige, dass μ =w-lim
n→∞ μn. ♣
Übung 13.2.4. Sei E = R und λ das Lebesgue-Maß auf R. Für n ∈ N sei μn =
λ � � . Man zeige: λ =v-lim
[−n,n]
n→∞ μn, jedoch ist (μ)n∈N nicht schwach konvergent. ♣
Übung 13.2.5. Sei E = R und μn = δn für n ∈ N. Man zeige: v-lim
n→∞ μn =0,
jedoch ist (μn)n∈N nicht schwach konvergent. ♣
Übung 13.2.6 (Lévy-Abstand). Für zwei Verteilungsfunktionen F und G von
Wahrscheinlichkeitsmaßen auf R wird der Lévy-Abstand definiert als
d(F, G) =inf � ε ≥ 0: G(x − ε) − ε ≤ F (x) ≤ G(x + ε)+ε für alle x ∈ R � .
Zeige:
(i) d ist eine Metrik auf der Menge der Verteilungsfunktionen.
(ii) Es gilt Fn
n→∞
=⇒ F genau dann, wenn d(Fn,F) n→∞
−→ 0.
(iii) Zu jedem P ∈M1(R) gibt es eine Folge (Pn)n∈N in M1(R), sodass jedes Pn
endlichen Träger hat, und sodass Pn
n→∞
=⇒ P . ♣