Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

15.2 Charakteristische Funktionen: Beispiele 291
�
�
0, wennb→0. Analog ist � �
ɛc,t zr−1 �
�
exp(−z) dz�
≤ cr exp(−c)(1 + t2 ) r/2 → 0,
wenn c →∞.
(vi) (Exponentialverteilung) Wegen exp θ = Γθ,1 folgt dies aus (v).
(vii) (Zweiseitige Exponentialverteilung) Sind X und Y unabhängige expθ verteilte
Zufallsvariablen, so ist X − Y ∼ exp2 θ (Nachrechnen!). Also ist
ϕ exp 2 θ (t) =ϕexp θ (t) ϕexp θ (−t) =
1
1 − it/θ
1
1+it/θ =
1
.
1+(t/θ) 2
(viii) (Cauchy Verteilung) Dies lässt sich entweder mit Hilfe des Residuenkalküls
direkt ausrechnen, oder mit Hilfe der Fourier-Inversionsformel (Gleichung
(15.2)) aus der Aussage für die zweiseitige Exponentialverteilung folgern.
(ix) (Binomialverteilung) Nach dem binomischen Lehrsatz ist
n�
� �
n
ϕ(t) = (1 − p)
k
n−k (pe it ) k =(1−p + pe it ) n .
k=0
(x) (Negative Binomialverteilung) Nach dem verallgemeinerten binomischen
Lehrsatz (Lemma 3.5) ist für jedes x ∈ C mit |x| < 1
(1 − x) −r ∞�
� �
−r
= (−x)
k
k .
k=0
Wenn wir x =(1− p) e it setzen, folgt die Behauptung.
(xi) (Poissonverteilung) Es ist ϕPoiλ (t) =
∞�
n=0
Korollar 15.13. Es gelten die folgenden Faltungsformeln:
e −λ (λeit ) n
n! = eλ(eit −1) . ✷
(i) N μ1,σ 2 1 ∗N μ2,σ 2 2 = N μ1+μ2,σ 2 1 +σ 2 2 für μ1,μ2 ∈ R und σ 2 1,σ 2 2 > 0,
(ii) Γθ,r ∗ Γθ,s = Γθ,r+s für θ, r, s > 0,
(iii) Caua ∗ Caub =Caua+bfür a, b > 0,
(iv) bm,p ∗ bn,p = bm+n,p für m, n ∈ N und p ∈ [0, 1],
(v) b − r,p ∗ b − s,p = b − r+s,p für r, s > 0 und p ∈ (0, 1],
(vi) Poiλ ∗ Poiμ =Poiλ+μ für λ, μ ≥ 0.
Beweis. Die Aussagen folgen aus dem vorangehenden Satz zusammen mit ϕμ∗∗ν =
ϕμ ϕν (Lemma 15.11). ✷
Zwei einfache Verfahren, um charakteristische Funktionen von zusammengesetzten
Verteilungen auszurechnen, liefert der folgende Satz: