Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

222 12 Rückwärtsmartingale und Austauschbarkeit
Beispiel 12.3. (i) Ist (Xi)i∈I u.i.v., so ist (Xi)i∈I austauschbar.
(ii) In einer Urne seien N Kugeln, davon M schwarz. Wir ziehen sukzessive ohne
Zurücklegen alle Kugeln und setzen
�
1, falls die n-te Kugel schwarz ist,
Xn :=
0, sonst.
Dann ist (Xn)n=1,...,N austauschbar. Dies folgt aus elementarer Kombinatorik,
denn für jede Wahl von x1,...,xN ∈{0, 1} mit x1 + ...+ xN = M ist offenbar
P � � 1
X1 = x1,...,XN = xN = �.
Diese Formel können wir aber auch formal durch eine kleine Rechnung mit bedingten
Wahrscheinlichkeiten herleiten, die wir in ähnlicher Form für das Pólya’sche
Urnenmodell in Beispiel 12.29 noch einmal durchführen werden. Setze dazu sk =
x1 + ...+ xk für k =0,...,N und
�
M − sk, falls x =1,
gk(x) =
N − M + sk − k, falls x =0.
Dann ist P[X1 = x1] =g0(x1)/N und
P[Xk+1 = xk+1 |X1 = x1,...,Xk = xk] = gk(xk+1)
N − k
� N
M
für k =1,...,N − 1.
Ferner ist offenbar gk(0) = N − M − l, wobei l =#{i