Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

546 25 Das Itô-Integral
25.4 Dirichlet-Problem und Brown’sche Bewegung
Ähnlich wie für diskrete Markovketten (vergleiche Kapitel 19.1) lässt sich die
Lösung des Dirichlet-Problems in einem Gebiet G ⊂ Rd durch eine am Rande
von G gestoppte d-dimensionale Brown’sche Bewegung beschreiben.
Sei im Folgenden G ⊂ Rd eine offene, beschränkte Menge.
Definition 25.35 (Dirichlet-Problem). Sei f : ∂G → R stetig. Eine Funktion
u : G → R heißt Lösung des Dirichlet-Problems auf G mit Randwert f, falls u
stetig ist und in G zweimal stetig differenzierbar, sowie
△ u(x) =0 für x ∈ G,
u(x) =f(x) für x ∈ ∂G.
(25.18)
Für hinreichend glatte Gebiete existiert stets eine Lösung des Dirichlet-Problems
(siehe etwa [80, Korollar 4.3.3]). Gibt es eine Lösung, so ist sie stets eindeutig (wie
aus Satz 25.37 folgt).
Sei im Folgenden W =(W1 ,...,Wd ) eine d-dimensionale Brown’sche Bewegung
bezüglich der Filtration F, die den üblichen Bedingungen genügt. Wir schreiben
Px und Ex für Wahrscheinlichkeiten und Erwartungswerte, wenn W in
W0 = x =(x1 ,...,xd ) ∈ Rd gestartet wird. Ist A ⊂ Rd offen, so ist
τAc := inf � t>0: Wt ∈ A c�
eine F-Stoppzeit (siehe Übung 21.4.4). Da G beschränkt ist, ist G ⊂ (−a, a) ×
Rd−1 für gewisses a>0. AlsoistτGc ≤ τ ((−a,a)×Rd−1 (angewandt auf W
) c. Nach Übung 21.2.4
1 )istfür x ∈ G
�
Ex τGc � �
≤ Ex τGc ≤ τ ((−a,a)×Rd−1 ) c
� 1 1
=(a− x )(a + x ) < ∞. (25.19)
Speziell ist τG c < ∞ Px-fast sicher, also ist WτG c eine Px-fast sicher wohldefinierte
Zufallsvariable mit Werten in ∂G.
Definition 25.36. Für x ∈ G bezeichnen wir mit
das harmonische Maß auf ∂G.
μx,G = Px ◦ W −1
τG c
Satz 25.37. Ist u eine Lösung des Dirichlet-Problems auf G mit Randwert f, so
ist
�
u(x) =Ex f(WτGc ) � �
= f(y) μx,G(dy) für x ∈ G. (25.20)
∂G
Insbesondere ist die Lösung des Dirichlet-Problems stets eindeutig.