Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

6 Konvergenzsätze
Im starken und schwachen Gesetz der großen Zahl hatten wir implizit schon die
Begriffe von fast sicherer und stochastischer Konvergenz von Folgen von Zufallsvariablen
kennen gelernt und gesehen, dass die fast sichere die stochastische Konvergenz
impliziert. In diesem Kapitel definieren wir die Begriffe von fast sicherer
und stochastischer Konvergenz sowie Konvergenz im Mittel von Folgen messbarer
Abbildungen und setzen sie in Beziehung zueinander. Eine Schlüsselrolle kommt
dabei dem Konzept der gleichgradigen Integrierbarkeit zu.
6.1 Fast-überall- und stochastische Konvergenz
Im Folgenden ist (Ω,A,μ) stets ein σ-endlicher Maßraum. Wir definieren zunächst
Fast-überall-Konvergenz und stochastische Konvergenz in metrischen Räumen und
vergleichen dann beide Konzepte miteinander. Hierfür benötigen wir zunächst zwei
Lemmata, die sicher stellen, dass die Abstandsfunktion zweier messbarer Abbildungen
wieder messbar ist. Sei im Folgenden (E,d) ein separabler, metrischer Raum
mit Borel’scher σ-Algebra B(E). ” Separabel“ heißt dabei bekanntlich, dass es eine
abzählbare, dichte Teilmenge gibt. Für x ∈ E und r>0 bezeichnen wir mit
Br(x) ={y ∈ E : d(x, y)