Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

21.8 Satz von Donsker 457
Satz 21.43 (Donsker’sches Invarianzprinzip). Im Sinne der schwachen Konvergenz
auf C([0, ∞)) konvergieren die Verteilungen von ¯ S n gegen das Wiener-Maß
L[ ¯ S n ] n→∞
−→ PW . (21.33)
Beweis. Wegen (21.32) und Satz 21.38 reicht es zu zeigen, dass (L[ ¯ Sn], n∈ N)
straff ist. Dafür möchten wir das Kolmogorov’sche Momentenkriterium anwenden.
Wie wir schon beim Beweis der Existenz der Brown’schen Bewegung gesehen haben,
reichen hierfür aber zweite Momente nicht aus, sondern wir benötigen vierte
Momente, damit wir β>0 wählen können. Die Strategie ist also, zunächst die Yi
abzuschneiden, um vierte Momente zu erhalten, und dann für den abgeschnittenen
Teil und den Hauptteil separat Straffheit zu zeigen.
Für K>0 definieren wir
Y K
i := Yi {|Yi|≤K/2} −E[Yi {|Yi|≤K/2}] und Z K i := Yi −Y K
i
für i ∈ N.
Dann gilt E[Y K
i ]=E[ZK i ]=0sowie Var[ZK K→∞
i ] −→ 0 und Var[Y K
i ] ≤ σ2 ,
i ∈ N. Außerdem ist offenbar |Y K
i |≤K für jedes i. Setze
Es seien ¯ T K,n
t
n�
T K n :=
i=1
n�
Y K
i und U K n :=
i=1
Z K i
K,n
und Ūt die linearen Interpolationen von
�T K,n
t := 1
√ σ 2 n T K,n
⌊nt⌋ und � U K,n
t := 1
√ σ 2 n U K,n
⌊nt⌋
für n ∈ N.
für t ≥ 0.
Offenbar ist ¯ Sn = ¯ T K,n + Ū K,n . Nach Korollar 21.41 reicht es zu zeigen,
dass für eine noch zu wählende Folge (Kn)n∈N gilt: (L[ Ū Kn,n ],n ∈ N) und
(L[ ¯ T Kn,n ],n∈ N) sind straff.
Wir betrachten zunächst den Restterm. U K ist ein Martingal. Die Doob’sche Ungleichung
(Satz 11.2) liefert
�
�
P
sup |U
l=1,...,n
K l | >ε √ n
≤ ε −2 Var � Z K� 1
für jedes ε>0.
Gilt jetzt Kn ↑∞, n →∞, so haben wir für jedes N>0
�
�
P sup �Ū
t∈[0,N]
Kn,n
�
�
�
t >ε ≤ N
ε2 Var�Z Kn�
n→∞
1 −→ 0,
Kn,n n→∞
also Ū =⇒ 0 in C([0, ∞)). Speziell ist (L[ Ū Kn,n ],n∈ N) straff.