Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

6.2 Gleichgradige Integrierbarkeit 131
Beweis. Offenbar gilt (|f|−g) + ≤|f|·
gradige Integrierbarkeit.
{|f|>g}, also impliziert (6.3) die gleich-
Gelte nun (6.2). Für jedes ε>0 sei gε ∈L1 (μ) so gewählt, dass
�
sup
f∈F
(|f|−gε) + dμ ≤ ε. (6.4)
Setze �gε =2gε/2. Dannistfür f ∈F
�
�
|f| dμ ≤ (|f|−gε/2) + dμ +
{|f|> �gε}
{|f|> �gε}
�
{|f|> �gε}
g ε/2 dμ.
Per Konstruktion ist �
{|f|> �gε} (|f|−gε/2) + dμ ≤ ε/2 und gε/2 {|f|> �gε} ≤ (|f|−
gε/2) + {|f|> �gε}, also auch �
{|f|> �gε} gε/2 dμ ≤ �
|f|> �gε (|f| −gε/2) + dμ ≤ ε/2.
Insgesamt haben wir also
�
sup |f| dμ ≤ ε. (6.5)
f∈F
{|f|> �gε}
Offenbar impliziert (ii) schon (i), und (i) impliziert die gleichgradige Integrierbarkeit
von F, denn das Infimum wird hier ja über die kleinere Menge der konstanten
Funktionen gebildet. Wir müssen noch zeigen, dass gleichgradige Integrierbarkeit
(ii) impliziert. Sei also F gleichgradig integrierbar und μ(Ω) < ∞. Zu gegebenem
ε>0 (und gε und ˜gε wie oben) wählen wir aε so, dass �
{�g ε/2>aε} �g ε/2 dμ < ε
2 .
Dann ist
�
{|f|>aε}
�
|f| dμ ≤
{|f|>�g ε/2}
�
|f| dμ + �g ε/2 dμ < ε. ✷
{�g ε/2>aε}
Satz 6.18. (i) Ist F ⊂ L 1 (μ) eine endliche Menge, so ist F gleichgradig integrierbar.
(ii) Sind F, G⊂L 1 (μ) gleichgradig integrierbar, dann sind auch (f + g : f ∈
F, g∈G) und (f − g : f ∈F,g∈G) sowie {|f| : f ∈F}gleichgradig
integrierbar.
(iii) Ist F gleichgradig integrierbar und existiert zu jedem g ∈Gein f ∈Fmit
|g| ≤|f|, soistauchG gleichgradig integrierbar.
Beweis. Der einfache Beweis verbleibt zur Übung. ✷
Der folgende Satz beschreibt ein sehr gut anwendbares Kriterium für gleichgradige
Integrierbarkeit. Wir werden diesen Satz an vielen Stellen einsetzen.