Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

572 26 Stochastische Differentialgleichungen
Lösung wissen. Die wahre Stärke der Methode der Dualität kann sich also erst in
höherdimensionalen Problemen entfalten. Hierzu betrachten wir als Beispiel eine
Erweiterung von Beispiel 26.29.
Beispiel 26.32 (Wechselwirkende Wright-Fisher Diffusionen).
Die Wright-Fisher Diffusion aus Beispiel 26.29 beschreibt die Fluktuationen der
Genfrequenz eines Allels in einer großen Population. Wir wollen nun mehrere Populationen
betrachten, die auf den Punkten i ∈ S := {1,...,N} leben, und miteinander
durch Migration, die durch Wechselwirkungsraten r(i, j) ≥ 0 quantifiziert
wird, in Wechselwirkung stehen. Als Modell für die Genfrequenzen Xt(i)
am Ort i zur Zeit t stellen wir daher die folgende N-dimensionale SDGL für
X =(X(1),...,X(N)) auf:
dXt(i) = � γXt(i)(1 − Xt(i)) dW i N�
t + r(i, j) � Xt(j) − Xt(i) � dt. (26.31)
Dabei ist W =(W 1 ,...,W N ) eine N-dimensionale Brown’sche Bewegung. Diese
SDGL hat nach Satz 26.22 schwache Lösungen, jedoch greift keines unserer
allgemeinen Kriterien für schwache Eindeutigkeit. Wir werden daher die schwache
Eindeutigkeit vermittels Dualität zeigen.
Es ist, ähnlich wie in Beispiel 26.29, nicht schwer zu zeigen, dass Lösungen von
(26.31), die in X0 = x ∈ E := [0, 1] S starten, in [0, 1] S bleiben. Die Diagonalterme
r(i, i) tauchen in (26.31) nicht auf, daher können wir sie noch beliebig festsetzen
und wählen r(i, i) = − �
j�=i r(i, j). SeiY = (Yt)t≥0 der Markovprozess auf
E ′ := SN0 mit der folgenden Q-Matrix
⎧
j=1
ϕ(i) r(i, j), falls η = ϕ − {i} + {j} für
gewisse i, j ∈ S, i �= j,
⎪⎨
q(ϕ, η) =
γ
⎪⎩
� � ϕ(i)
2 , falls η = ϕ − {i} für ein i ∈ S,
� �
ϕ(i)r(i, i) − γ
i∈S
� � ϕ(i)
2
�
, falls η = ϕ,
0, sonst.
Dabei bezeichnet ϕ ∈ E ′ einen generischen Zustand mit ϕ(i) Teilchen am Ort
i ∈ S, und {i} ∈ E ′ bezeichnet den Zustand mit genau einem Teilchen am Ort
i. Der Prozess Y beschreibt ein System von Teilchen, die unabhängig voneinander
mit Rate r(i, j) vom Ort i zum Ort j springen. Sind mehrere Teilchen an einem Ort
i, so verschmilzt jedes der � � ϕ(i)
2 Paare von Teilchen mit der selben Rate γ zu einem
Teilchen. Die gängige genealogische Interpretation dieses Prozesses ist, dass er (in
umgekehrter Zeit) die Ahnenlinien einer Stichprobe von je Y0(i) Individuen ein den
Orten i ∈ S, beschreibt. Durch Migration wechseln die Linien den Ort. Haben zwei
Individuen den selben Vorfahren, so verschmelzen zwei Linien. Offenbar ist für
einen gemeinsamen Vorfahren notwendig aber nicht hinreichend, dass beide Linien
am selben Ort sind.