Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

10.2 Optional Sampling und Optional Stopping 205
Also ist X τ ein F-Submartingal. Da X τ an F τ adaptiert und F τ die kleinere Filtration
ist, ist X auch ein F τ –Submartingal (siehe Bemerkung 9.29). ✷
Beispiel 10.16. Sei X die symmetrische einfache Irrfahrt aus Beispiel 10.8. Seien
a, b ∈ Z, a0 sowie
τa =inf{t ≥ 0:Xt = a}, τb =inf{t ≥ 0:Xt = b} und τa,b = τa ∧ τb.
τa,b ist eine Stoppzeit nach Lemma 9.18. Sei A = {τa,b = τa} das Ereignis, dass
X in a ist bevor es in b ist. Wir wollen P[A] bestimmen. Nach Übung 2.3.1 ist
fast sicher lim supn→∞ Xn = ∞ und lim infn→∞ Xn = −∞. Also ist fast sicher
τa < ∞ und τb < ∞. Nach dem Optional Stopping Theorem Xτa,b ein Martingal.
Wegen τa,b ∧ n n→∞
−→ τa,b fast sicher, gilt X τa,b n→∞
n −→ Xτa,b fast sicher. Da |Xτa,b n |
durch b − a beschränkt ist, gilt X τa,b n→∞
n −→ Xτa,b auch in L1 .Alsoist
0 = lim
n→∞ E � X τa,b�
� �
n = E Xτa,b = a · P [τa,b = τa]+b · P [τa,b = τb]
= b +(a− b) P[τa,b = τa].
Es folgt P [τa,b = τa] = b
. ✸
b − a
Beispiel 10.17. Schließlich wollen wir unsere Maschinerie benutzen, um E[τa,b]
und E[τa] zu berechnen. Der quadratische Variationsprozess 〈X〉 (vergleiche Definition
10.3) ist gegeben durch
〈X〉n =
n�
i=1
E � (Xi − Xi−1) 2 � �
�Fi−1 = n,
also ist � X2 n − n �
ein Martingal. Nach dem Optional Stopping Theorem ist
n∈N0
0=E � X 2 τa,b∧n − (τa,b ∧ n) �
für jedes n ∈ N0.
Monotone Konvergenz liefert
E [τa,b] =E � X 2 � 2
τa,b = a P [τa,b = τa]+b 2 P [τa,b = τb] =|a|·b.
Um E[τa] zu berechnen, bemerken wir, dass τa,b ↑ τa fast sicher gilt, falls b →∞.
Der Satz von der monotonen Konvergenz liefert also E[τa] = lim
b→∞ E[τa,b] =∞. ✸
Bemerkung 10.18. Offenbar ist Xτb = b>0, also X0 < E � � �
Xτb
�F0 = b. Die
Aussage des Optional Sampling Theorems gilt also im Allgemeinen nicht, falls die
Stoppzeit unbeschränkt ist. ✸
Beispiel 10.19 (Gambler’s Ruin Problem). Wir betrachten ein Spiel zwischen
zwei Personen A und B. In jeder Runde wird eine Münze geworfen. Je nach Ergebnis
erhält A von B eine Geldeinheit oder B von A. Gespielt wird so lange, bis