Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

494 23 Große Abweichungen
Λ ∗ (z) =zt ∗ − Λ(t ∗ )=z arc tanh(z) − log � cosh(arc tanh(z)) � .
Nun ist arc tanh(z) = 1 1+z
log
2 1 − z
Es folgt
cosh � arc tanh(z) � =
für z ∈ (−1, 1) und
Λ ∗ (z) = z
z
log(1 + z) − log(1 − z)+1
2 2 2
= 1+z
2
log(1 + z)+
1
√
1 − z2 =
1
� .
(1 − z)(1 + z)
1 − z
2
log(1 − z).
log(1 − z)+1 log(1 + z)
2
Dies ist aber gerade die Ratenfunktion aus Satz 23.1. ✸
−1 e−|x|
Übung 23.1.1. Sei X eine reelle Zufallsvariable mit Dichte f(x) =c ,
1+|x| 3
� ∞
e
wobei c =
−∞
−|x|
dx. Man untersuche die logarithmische momentenerzeu-
1+|x| 3
gende Funktion Λ auf Unstetigkeitsstellen und skizziere den Graphen von Λ. ♣
23.2 Prinzip der großen Abweichungen
Wir wollen in diesem Abschnitt die Idee des Satzes von Cramér, die Wahrscheinlichkeiten
seltener, oder untypischer, Ereignisse vermittels einer exponentiellen Rate
und einer Ratenfunktion zu quantifizieren, in einen formalen Rahmen stellen. In diesem
Rahmen kann die gesamte Theorie großer Abweichungen entwickelt werden;
der Leser sei etwa auf die Bücher [32], [33] oder [74] verwiesen.
Sei E ein polnischer Raum mit vollständiger Metrik d. Wir schreiben Bε(x) ={y ∈
E : d(x, y) 0.
Eine Abbildung f : E → R =[−∞, ∞] heißt halbstetig von unten, falls für
jedes a ∈ R die Niveaumenge f −1 ([−∞,a]) ⊂ E abgeschlossen ist. (Speziell sind
also stetige Abbildungen stets halbstetig von unten. Allerdings ist (0,1) : R → R
halbstetig von unten, jedoch nicht stetig.) Äquivalent hierzu ist die Bedingung, dass
limε↓0 inf f(Bε(x)) = f(x) ist für jedes x ∈ E. (Man beachte, dass inf f(A) =
inf{f(x) : x ∈ A}.) Ist K ⊂ E kompakt und nichtleer, so nimmt f auf K das
Infimum an. In der Tat: Für den Fall, wo f(x) =∞ für jedes x ∈ K ist, ist die
Aussage trivial. Sei nun inf f(K) < ∞. Istan ↓ inf f(K) streng monoton fallend,
so ist K∩f −1 ([−∞,an]) �= ∅ kompakt für jedes n ∈ N, also ist auch der unendliche
Schnitt nichtleer
f −1 ∞�
(inf f(K)) = K ∩ f −1 ([−∞,an]) �= ∅.
n=1