Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

48 2 Unabhängigkeit
Wir prüfen jetzt, dass A und B tatsächlich (2.1) erfüllen. Dazu berechnen wir
P[A] = #A #Ã
#B
36 = 6 und P[B] = 36 = # ˜ B
6 . Ferner ist
P[A ∩ B] = #(Ã × ˜ B)
=
36
#Ã
6 · # ˜ B
= P[A] · P[B].
6
(ii) Stochastische Unabhängigkeit kann auch in weniger augenfälligen Situationen
auftreten. Sei hierzu A das Ereignis, dass die Augensumme ungerade ist,
A = � (ω1,ω2) ∈ Ω : ω1 + ω2 ∈ {3, 5, 7, 9, 11} � , und B das Ereignis, dass
der erste Wurf höchstens eine Drei bringt, B = {(ω1,ω2) ∈ Ω : ω1 ∈{1, 2, 3} � .
Obwohl beide Ereignisse anscheinend etwas miteinander zu tun haben, sind sie stochastisch
unabhängig, denn es gilt, wie man leicht prüft, P[A] =P[B] = 1
2 und
P[A ∩ B] = 1
4 . ✸
Wann sind nun drei Ereignisse A1,A2,A3 unabhängig? Hierzu muss natürlich jedes
der Paare (A1,A2), (A1,A3) und (A2,A3) unabhängig sein. Jedoch wollen
wir auch sicherstellen, dass beispielsweise das Eintreten von A1 und A2 nicht die
Wahrscheinlichkeit für das zusätzliche Eintreten von A3 beeinflusst. Wir müssen
also mehr als nur Paare betrachten.
Formal nennen wir daher drei Ereignisse A1,A2 und A3 (stochastisch) unabhängig,
falls
P[Ai ∩ Aj] =P[Ai] · P[Aj] für alle i, j ∈{1, 2, 3}, i�= j, (2.2)
und
P[A1 ∩ A2 ∩ A3] =P[A1] · P[A2] · P[A3]. (2.3)
Man beachte, dass (2.3) nicht aus (2.2) folgt (und (2.2) nicht aus (2.3)).
Beispiel 2.2 (Dreifacher Würfelwurf). Wir betrachten den dreifachen Wurf eines
Würfels. Sei also Ω = {1,...,6} 3 ausgestattet mit der diskreten σ-Algebra A =
2Ω und der Gleichverteilung P = UΩ (siehe Beispiel 1.30(ii)).
(i) Hängt für i =1, 2, 3 das Ereignis Ai nur vom i-ten Wurf ab, so sind die Ereignisse
A1, A2 und A3 unabhängig. In der Tat können wir sie wie im vorangehenden
Beispiel für gewisse Mengen Ã1, Ã2, Ã3 ⊂{1,...6} schreiben als
A1 = Ã1 ×{1,...,6} 2 ,
A2 = {1,...,6}× Ã2 ×{1,...,6},
A3 = {1,...,6} 2 × Ã3.
Die Gültigkeit von (2.2) folgt wie in Beispiel 2.1(i). Um (2.3) zu zeigen, berechnen
wir
P[A1 ∩ A2 ∩ A3] = #(Ã1 × Ã2 × Ã3)
216
(ii) Wir betrachten nun die folgenden drei Ereignisse
=
3�
i=1
# Ãi
6 =
3�
P[Ai].
i=1