Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

21.1 Stetige Modifikationen 431
Für s, t ∈ I mit |t − s| < ϱ gibt es ein i ∈ {1,...,n} mit s, t ∈ Uti . Nach
Voraussetzung ist |f(t) − f(s)| ≤C(ti) |t − s| γ ≤ C |t − s| γ . Seien nun s, t ∈ I
mit |s − t| ≥ϱ. Dannist
�γ �
|t − s|
|f(t) − f(s)| ≤2�f�∞
ϱ
≤ C |t − s| γ .
Also ist f Hölder-stetig von der Ordnung γ mit Konstante C.
(iii) Sei n = � T
ε
� .Für s, t ∈ I gilt nach Voraussetzung |t−s|
n
≤ ε und daher
|f(t) − f(s)| ≤
n�
�
�
�
�
k=1
f
�
s +(t− s) k
� �
��
k − 1 ���
− f s +(t− s)
n
n
≤ C(ε) n 1−γ |t − s| γ = C |t − s| γ . ✷
Definition 21.4 (Pfadeigenschaften). Sei I ⊂ R und X =(Xt,t ∈ I) ein reellwertiger
stochastischer Prozess auf einem W-Raum (Ω,A, P) mit Werten in einem
metrischen Raum (E,d) sowie γ ∈ (0, 1]. Für jedes ω ∈ Ω nennen wir die Abbildung
I → E, t ↦→ Xt(ω) einen Pfad von X.
Wir sagen, dass X fast sicher stetige Pfade hat, oder kurz, dass X f.s. stetig ist, falls
für fast jedes ω ∈ Ω der Pfad t ↦→ Xt(ω) stetig ist. Analog definieren wir lokal
Hölder-γ-stetige Pfade und so weiter.
Lemma 21.5. Seien X und Y Modifikationen voneinander. Es gelte eine der Bedingungen
(i) I ist abzählbar.
(ii) I ⊂ R ist ein Intervall und X und Y sind fast sicher rechtsstetig.
Dann sind X und Y ununterscheidbar.
Beweis. Setze Nt := {Xt �= Yt} für t ∈ I und ¯ N = �
t∈I Nt. Nach Voraussetzung
gilt P[Nt] =0für jedes t ∈ I. Zu zeigen ist jeweils: Es existiert N ∈Amit ¯ N ⊂ N
und P[N] =0.
(i) Ist I abzählbar, so ist N := ¯ N messbar und P[N] ≤ �
t∈I P[Nt] =0.
(ii) Sei nun I ⊂ R ein Intervall, und seien X und Y fast sicher rechtsstetig. Setze
¯R := {X und Y sind rechtsstetig}
und wähle R ∈Amit R ⊂ ¯ R und P[R] =1. Setze
�
�I
Q ∩ I, falls I rechtsseitig offen ist,
:=
(Q ∩ I) ∪ max I, falls I rechtsseitig abgeschlossen ist,