Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

Also ist
23.1 Satz von Cramér 493
ˆϕ(t) :=E � e t ˆ X1 � = 1
�
e
ϱ R
tx e τx μ(dx) = 1
ϕ(t + τ).
ϱ
E � ˆ X1] = ˆϕ ′ (0) = 1
ϱ ϕ′ (τ) =0,
Var � ˆ X1] = ˆϕ ′′ (0) = 1
ϱ ϕ′′ (τ) ∈ (0, ∞).
Setzen wir ˆ Sn = ˆ X1 + ...+ ˆ Xn,soist
�
P[Sn ≥ 0] =
μ(dx1) ···μ(dxn)
�
=
= ϱ n E
{x1+...+xn≥0}
{x1+...+xn≥0}
�
e −τ ˆ Sn
� ϱe −τx1 � ˆμ(dx1) ··· � ϱe −τxn� ˆμ(dxn)
{ ˆ Sn≥0}
Wir erhalten also (23.11), wenn wir zeigen können, dass
lim inf
n→∞
�
.
1
�
log E e
n −τ ˆ Sn
{ ˆ Sn≥0}
Nach dem Zentralen Grenzwertsatz (Satz 15.37) ist für c>0
1
�
log E e
n −τ ˆ Sn
{ ˆ Sn≥0}
�
≥ 1
n
≥ 1
n log
�
log E
e −τ ˆ Sn
{0≤ ˆ Sn≤c √ �
n }
�
e −τc√ � ˆ �
n Sn
P √n ∈ [0,c]
�
�
≥ 0. (23.12)
n→∞ −τc
−→ lim
n→∞
√ n 1
+ lim
n n→∞ n log � N0,Var[X1]([0,c]) �
=0. ✷
Beispiel 23.4. Ist PX1 = N0,1, soist
Λ(t) = log � E � e tX1�� � � ∞
1
=log √2π e
−∞
tx e −x2 �
/2
dx = t2
2 .
Weiter ist
Λ ∗ (z) =sup
t∈R
�
� �
tz − Λ(t) =sup tz −
t∈R
t2
�
=
2
z2
2 .
Die Ratenfunktion stimmt also mit der aus (23.4) überein. ✸
1
Beispiel 23.5. Ist PX1 = 2δ−1 + 1
2δ1, soistΛ(t) =logcosh(t). Der Maximierer
t∗ = t∗ (z) aus dem Variationsproblem für Λ∗ erfüllt die Gleichung z = Λ ′ (t∗ )=
tanh(t∗ ).Alsoist