Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

7.4 Lebesgue’scher Zerlegungssatz 153
i : L2 (Ω,A,μ+ ν) ↩→ L1 (Ω,A,μ+ ν) stetig. Wegen ν ≤ μ + ν ist also auch
die Linearform L2 (Ω,A,μ + ν) → R, h ↦→ � hdν stetig. Nach dem Satz von
Riesz-Fréchet (hier: Korollar 7.28) existiert daher ein g ∈L2 (Ω,A,μ+ ν) mit
� �
hdν = hg d(μ + ν) für jedes h ∈L 2 (Ω,A,μ+ ν), (7.7)
oder äquivalent dazu
�
f(1 − g) d(μ + ν) =
�
fdμ für jedes f ∈L 2 (Ω,A,μ+ ν). (7.8)
Wählen wir in (7.7) speziell h = {g1}, in (7.8) dass (μ + ν)-fast überall g ≤ 1 gilt,
also ist 0 ≤ g ≤ 1. Sei nun f ∈L 1 (Ω,A,μ+ ν), und seien (fn)n∈N nichtnegative
Funktionen in L 2 (Ω,A,μ + ν) mit fn ↑ f. Nach dem Satz von der monotonen
Konvergenz (angewandt auf das Maß (1 − g)(μ + ν), dem Maß mit Dichte (1 − g)
bezüglich μ + ν) erhalten wir, dass (7.8) für alle messbaren f ≥ 0 gilt. Analog folgt
die Gültigkeit von (7.7) für alle messbaren h ≥ 0.
Sei E := g −1 ({1}). Setzen wir f = E in (7.8) ein, so erhalten wir μ(E) =0.Wir
definieren jetzt zwei Maße νa und νs für A ∈Adurch
νa(A) :=ν(A \ E) und νs(A) :=ν(A ∩ E).
Offenbar gilt ν = νa + νs und νs(Ω \ E) =0, also νs ⊥ μ. Ist nun A ∩ E = ∅
und μ(A) =0,soist � A dμ =0, also nach (7.8) auch �
(1 − g) d(μ + ν) =0.
A
Andererseits ist 1−g >0 auf A, also μ(A)+ν(A) =0und damit νa(A) =ν(A) =
0. Ist allgemeiner B messbar mit μ(B) =0,soistμ(B \ E) =0, also nach dem
Gezeigten νa(B) =νa(B \ E) =0. Folglich ist νa ≪ μ und ν = νa + νs die
gewünschte Zerlegung.
Um die Dichte von νa bezüglich μ zu erhalten, setzen wir f := g
1 − g Ω\E. Für
jedes A ∈Aist nun nach (7.8) und (7.7) mit h = A\E
�
A
�
fdμ =
A∩E c
gd(μ + ν) =ν(A \ E) =νa(A).
Also ist f = dνa
dμ . ✷
Übung 7.4.1. Wir definieren eine Abbildung F : (0, 1] → (0, 1] an der Stelle
x ∈ (0, 1] mit nicht abbrechender Binärdarstellung x = (0,x1x2x3 �
...) :=
∞
n=1 xn2−n durch
∞�
F (x) =(0,x1x1x2x2x3x3 ...)= 3 xn 4 −n .
Man zeige, dass F die stetige Verteilungsfunktion eines W-Maßes μ auf B((0, 1])
ist, und dass μ singulär zum Lebesgue-Maß λ � � ist. ♣
(0,1]
n=1