Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

26.3 Eindeutigkeit schwacher Lösungen via Dualität 567
(iv) Seien γ,c > 0 und θ ∈ (0, 1). Man zeige, dass die invariante Verteilung der
Lösung X der folgenden SDGL auf [0, 1]
dXt = � γXt(1 − Xt) dWt + c(θ − Xt) dt
gegeben ist durch die Betaverteilung β 2cγ/θ, 2cγ/(1−θ). ♣
Übung 26.2.2. Sei γ>0. Seien X 1 und X 2 Lösungen von dX i t = � γX i t dW i t ,
wo W 1 und W 2 zwei unabhängige Brown’sche Bewegungen sind, mit Startwerten
X 1 0 = x 1 0 > 0 und X 2 0 = x 2 0 > 0. Man zeige, dass Z := X 1 + X 2 eine schwache
Lösung ist von Z0 =0und dZt = √ γZt dWt. ♣
26.3 Eindeutigkeit schwacher Lösungen via Dualität
Mit dem Satz von Stroock und Varadhan haben wir ein starkes Kriterium für die
Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen von stochastischen Differentialgleichungen.
In vielen Fällen ist jedoch gerade die Bedingung der lokal gleichgradigen Elliptizität
von a (Bedingung (i) in Satz 26.26) nicht erfüllt. Dies trifft insbesondere
dann zu, wenn die Lösungen nur auf Teilmengen von Rn definiert sind.
Wir werden hier ein mächtiges Hilfsmittel kennen lernen, das in vielen Spezialfällen
schwache Eindeutigkeit von Lösungen sichert.
Definition 26.27 (Dualität). Seien X =(X x ,x∈ E) und Y =(Y y ,y∈ E ′ ) Familien
von stochastischen Prozessen mit Werten in den Räumen E beziehungsweise
E ′ und so, dass X x 0 = x f.s. und Y y
0 = y f.s. für alle x ∈ E und y ∈ E′ .Wirsagen,
dass X und Y dual zueinander sind mit Dualitätsfunktion H : E × E ′ → C,
falls für alle x ∈ E, y ∈ E ′ und t ≥ 0 die Erwartungswerte E � H(X x t ,y) � und
E � H(x, Y y
t ) � existieren und gleich sind:
E � H(X x t ,y) � = E � H(x, Y y
t ) � .
Wir nehmen im Folgenden an, dass σij : R n → R und bi : R n → R beschränkt auf
kompakten Mengen sind für alle i =1,...,n, j =1,...,m. Wir betrachten die
zeithomogene stochastische Differentialgleichung
dXt = σ(Xt) dWt + b(Xt) dt. (26.24)
Satz 26.28 (Eindeutigkeit via Dualität). Für jedes x ∈ R n existiere eine Lösung
des lokalen Martingalproblems zu (σσ T ,b,δx). Es gebe eine Familie (Y y ,y∈ E ′ )
von Markovprozessen mit Werten in dem Messraum (E ′ , E ′ ) und eine messbare Ab-
bildung H : R n × E ′ → C, sodass für jedes y ∈ E ′ , x ∈ R n und t ≥ 0 der Erwar-
tungswert E[H(x, Y y
t )] existiert und endlich ist. Ferner sei (H( · ,y), y∈ E ′ ) eine
trennende Funktionenklasse für M1(R n ) (siehe Definition 13.9).