Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

230 12 Rückwärtsmartingale und Austauschbarkeit
Dann ist (wobei An(ϕ) das symmetrisierte Mittel aus Satz 12.17 ist)
wobei
�
An(ϕk−1)An(fk) = 1
n!
� Rn,k
= 1
n!
�
ϱ∈S(n)
�
ϱ∈S(n)
� � �
� ≤ 2 �ϕk−1�
·
∞ � �
�fk � ·
∞ 1 1
n! n
=2 � �
�ϕk−1 � ·
∞ � �
�fk � ·
∞
Es folgt zusammen mit Satz 12.17
ϕk−1(X ϱ ) 1
n
n�
fk(Xi)
i=1
ϕk(X ϱ )+Rn,k = An(ϕk)+Rn,k,
k − 1
n
�
n�
ϱ∈S(n) i=1
n→∞
−→ 0.
{i∈{ϱ(1),...,ϱ(k−1)}}
An(ϕk−1) An(fk) n→∞
−→ E � ϕk(X1,...,Xk) � � A � f.s. und in L 1 .
Andererseits gilt nach Satz 12.17
und
also
An(ϕk−1) n→∞
−→ E � ϕk−1 (X1,...,Xk−1) � � A �
An(fk) n→∞
−→ E � fk(X1) � �A � ,
E � ϕk(X1,...,Xk) � � A � = E � ϕk−1(X1,...,Xk−1) � � A � E � fk(X1) � � A �
und induktiv
�
k� �
�
E fi(Xi) �
�A �
=
i=1
Mithin ist X u.i.v. gegeben A.
k�
E � fi(X1) � �A � .
” ⇐= “ Sei nun X u.i.v. gegeben A für eine geeignete σ-Algebra A⊂F.Für
jede beschränkte, messbare Funktion ϕ : En → R und für jedes ϱ ∈ S(n) ist dann
E[ϕ(X) � �
� ϱ A]=E[ϕ(X ) �A], also
E[ϕ(X)] = E � E[ϕ(X) � �A] � = E � E[ϕ(X ϱ ) � �A] � = E[ϕ(X ϱ )].
Mithin ist X austauschbar. ✷
Mit M1(E) bezeichnen wir die Menge der W-Maße auf E, ausgestattet mit der Topologie
der schwachen Konvergenz (siehe Definition 13.12 und Bemerkung 13.14),
i=1