Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

138 6 Konvergenzsätze
und
E[X n ]=(−1) n lim
λ↓0 F (n) (λ) für jedes n ∈ N. (6.8)
In der Tat: Für ε>0 und I =(ε, ∞) ist sup
x≥0,λ∈I
�
� d
dλ f(x, λ)� � = sup
x≥0,λ∈I
xe −λx =
ε −1 e −1 < ∞. Damit gelten die Voraussetzungen des Satzes für F . Iterativ erhalten
wir die Aussage für F (n) ,denn � � d n
dλ n f(x, λ) � � ≤ (n/ε) n e −n < ∞ für x ≥ 0 und
λ ≥ ε. ✸
Übung 6.3.1. Sei X eine Zufallsvariable auf (Ω,A, P) und
Λ(t) :=log � E � e tX��
für jedes t ∈ R.
Man zeige, dass D := {t ∈ R : Λ(t) < ∞} ein nichtleeres Intervall ist, und dass Λ
im Inneren von D unendlich oft differenzierbar ist. ♣