Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

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1/2 1/2
2
1
1
18.1 Periodizität von Markovketten 367
1 1
4 1
8
7
Abb. 18.2. Es ist N(8, 8) = {6, 10, 12, 14, 16,...}, also d8 := ggT({6, 10, 12,...}) =2
und n8 =5. Die Kette hat also Periode 2. Hingegen ist n1 =2und n4 =4.
Das Problem, die kleinste Zahl N zu finden, sodass sich jedes ndx, n ≥ N als
nichtnegative ganzzahlige Linearkombination von k1,...,kr darstellen lässt, wird
Frobenius Problem genannt. Die allgemeine Lösung ist unbekannt, allerdings hat
Sylvester [150] für den Fall r =2gezeigt, dass N =(k1/dx − 1)(k2/dx − 1)
minimal ist. Im allgemeinen Fall ist als obere Schranken für N beispielsweise
2max{ki : i =1,...,r} 2 /(rd 2 x) bekannt, siehe etwa [44].
Lemma 18.3. Sei X irreduzibel. Dann gelten:
(i) d := dx = dy für alle x, y ∈ E.
(ii) Für alle x, y ∈ E existieren nx,y ∈ N und Lx,y ∈{0,...,d− 1} mit
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nd + Lx,y ∈ N(x, y) für jedes n ≥ nx,y. (18.2)
Lx,y ist eindeutig bestimmt, und es gilt
Lx,y + Ly,z + Lz,x =0(modd) für alle x, y, z ∈ E. (18.3)
Beweis. (i) Seien m, n ∈ N0 mit p m (x, y) > 0 und p n (y, z) > 0. Dannist
Also gilt
p m+n (x, z) ≥ p m (x, y) p n (y, z) > 0.
N(x, y)+N(y, z) := � m + n : m ∈ N(x, y), n∈ N(y, z) � ⊂ N(x, z). (18.4)
Sind speziell m ∈ N(x, y), n ∈ N(y, x) und k ≥ ny, soistkdy � ∈ N(y, y), also
m + kdy ∈ N(x, y) und m + n + kdy ∈ N(x, x). Es folgt dx�(m
�
�
+ n + kdy) für
jedes k ≥ ny, also dx�dy.
Analog erhalten wir dy�dx,
also dx = dy.
(ii) Sei m ∈ N(x, y). Dannistm + kd ∈ N(x, y) für jedes k ≥ nx. Also gilt
(18.2) mit
�
m
�
nx,y := nx +
d
und
�
m
�
Lx,y := m − d .
d
Wegen (18.4) ist
1
1
6