Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

19.4 Rekurrenz und Transienz
19.4 Rekurrenz und Transienz 399
Wir betrachten die Situation, wo E abzählbar ist und A1 = {x1} für ein x1 ∈ E.
Sei X eine Irrfahrt auf E mit Gewichten C =(C(x, y), x,y∈ E), also mit Übergangswahrscheinlichkeiten
p(x, y) =C(x, y)/C(x) (vergleiche Definition 19.11).
Um die Ergebnisse über endliche elektrische Netzwerke aus dem letzten Abschnitt
anwenden zu können, nehmen wir zudem immer an, dass A0 ⊂ E so gewählt ist,
dass E \ A0 endlich ist. Es sei dann stets u = ux1,A0 die eindeutig bestimmte
Spannungsfunktion auf E mit u(x1) =1und u(x) =0für jedes x ∈ A0. Nach
Satz 19.7 ist u harmonisch und hat die Darstellung
�
ux1,A0 (x) =Ex {Xτ A0∪{x1 } =x1}
�
= Px [τx1