Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

15.1 Trennende Funktionenklassen 287
Übung 15.1.1. Man zeige, dass im Satz von Stone-Weierstraß auf die Kompaktheit
von E nicht verzichtet werden kann. Hinweis: Man wähle etwa E = R, nutze aus,
dass Cb(R) =Cb(R; R) nicht separabel ist und konstruiere eine abzählbare, Punkte
trennende Algebra C⊂Cb(R). ♣
Übung 15.1.2. Sei d ∈ N und μ ein endliches Maß auf [0, ∞) d . Man zeige: μ ist
durch Angabe der Laplace-Transformierten Lμ(λ) = � e −〈λ,x〉 μ(dx), λ ∈ [0, ∞) d
eindeutig bestimmt. ♣
Übung 15.1.3. Man zeige, dass unter den Voraussetzungen von Satz 15.10 die
Plancherel’sche Gleichung gilt:
�
μ({x}) 2 =(2π) −d
�
|ϕμ(t)| 2 dt. ♣
x∈Z d
[−π,π) d
Übung 15.1.4 (Mellin-Transformierte). Sei X eine nichtnegative reelle Zufallsvariable.
Für s ≥ 0 definieren wir die Mellin-Transformierte von PX
mX(s) =E[X s ]
mit Werten in [0, ∞].
Man zeige: Gibt es ein ε0 > 0 mit mX(ε0) < ∞ (beziehungsweise mX(−ε0) <
∞), so ist für jedes ε>0 die Verteilung PX eindeutig bestimmt durch die Werte
mX(s) (beziehungsweise mX(−s)), s ∈ [0,ε].
Anleitung: Für stetiges f :[0, ∞) → [0, ∞) sei
φf (s) =
� ∞
0
t z−1 f(z),
für diejenigen z ∈ C, für die dies wohldefiniert ist. Aus der Funktionentheorie ist
bekannt: Ist φf (s) < ∞ für ein s>1, soistφf holomorph in {z ∈ C : Re(z) ∈
(1,s)} (und damit durch die Werte φf (r), r ∈ (1, 1+ε) eindeutig festgelegt für
jedes ε>0), und es gilt für jedes r ∈ (1,s)
f(t) = 1
� ∞
t
2πi −∞
−(r+iρ) φf (r + iρ) dρ.
(i) Man folgere die Aussage für X mit stetiger Dichte.
(ii) Für δ>0 sei Yδ ∼U [1−δ,1] und unabhängig von X. Man zeige, dass XYδ eine
stetige Dichte hat.
(iii) Man bestimme mXYδ und zeige, dass mXYδ → mX für δ ↓ 0.
(iv) Man zeige, dass XYδ =⇒ X für δ ↓ 0. ♣