Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

11.2 Martingalkonvergenzsätze 217
n0, sodass Mn = Mn0 für jedes n ≥ n0. Damit ist aber auch Xn = Xn0 für jedes
n ≥ n0. Offenbar ist jedoch kein Zustand x mit x �≡ 0 und x �≡ 1 stabil, denn hier
gilt, falls i und j in Λ benachbart sind und x(i) �= x(j),
�
P[Xn �= Xn−1
�Xn−1 = x] ≥ P[In−1 = i, Nn−1 = j − i] =L −d (2d) −1 .
Es muss also M∞ ∈{0,L d } gelten. Nun ist aber E[M∞] =M0, also gilt
P � M∞ = L d � = M0
Ld und P � M∞ =0 � =1− M0
.
Ld Etwas formaler sehen wir den Sachverhalt, dass nur die beiden extremen Zustände
stabil sind, so ein: Wir betrachten den quadratischen Variationsprozess 〈M〉 von M.
Dann ist
n�
n�
〈M〉n = {Mk�=Mk−1} =
Also ist
k=1
k=1
L 2d ≥ Var[Mn] =E[〈M〉n]
n�
=
k=1
{Xk−1(Ik)�=Xk−1(Ik+Nk)}.
P[Xk−1(Ik) �= Xk−1(Ik + Nk)]
≥ (2d) −1 L −d
n�
k=1
P[Mk−1 �∈ {0,L d }].
Es folgt, dass � ∞
k=1 P[Mk−1 �∈ {0,L d }] ≤ 2dL 3d < ∞, also ist nach dem Lemma
von Borel-Cantelli M∞ ∈{0,L d }. ✸
Beispiel 11.17 (Satz von Radon-Nikodym). Wir wollen mit Hilfe des Martingalkonvergenzsatzes
einen alternativen Beweis des Satzes von Radon-Nikodym (Korollar
7.34) angeben.
Sei (Ω,F, P) ein W-Raum und Q ein weiteres W-Maß auf (Ω,A). Wir nehmen
zudem an, dass F abzählbar erzeugt ist, dass es also (höchstens) abzählbar viele
Mengen A1,A2,...∈Fgibt, sodass F = σ({A1,A2,...}). Dies ist beispielsweise
dann richtig, wenn F die Borel’sche σ-Algebra auf einem polnischen Raum ist.
Speziell können wir für den Fall Ω = Rd offene Kugeln mit rationalen Radien und
rationalen Zentren nehmen.
Wir bilden nun eine Filtration F =(Fn)n∈N, indem wir Fn := σ({A1,...,An})
setzen. Offenbar ist #Fn < ∞ für jedes n ∈ N. Genauer gilt, dass es eine endliche
(eindeutig bestimmte) Teilmenge Zn ⊂Fn \ {∅} gibt mit B = �
C für jedes
C∈Zn
C⊂B
B ∈Fn. Zn ist die Zerlegung von Fn in ” Atome“. Schließlich definieren wir einen
stochastischen Prozess (Xn)n∈N durch