Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

226 12 Rückwärtsmartingale und Austauschbarkeit
12.2 Rückwärtsmartingale
Die Begriffe der Filtration und des Martingals haben nirgends vorausgesetzt, dass
die Zeitmenge I ⊂ [0, ∞) wäre. Wir wollen jetzt den Fall I = −N0 betrachten.
Definition 12.11 (Rückwärtsmartingal). Sei F =(Fn)n∈−N0 eine Filtration und
X = (Xn)n∈−N0 ein F-Martingal. Dann nennen wir X = (X−n)n∈N0ein Rückwärtsmartingal.
Bemerkung 12.12. Ein Rückwärtsmartingal ist stets gleichgradig � integrierbar. Dies
folgt aus Korollar 8.21 und der Tatsache, dass X−n = E[X0
�F−n] für jedes n ∈
N0. ✸
Beispiel 12.13. Seien X1,X2,...austauschbare, reelle Zufallsvariablen. Für n ∈ N
setze F−n = En und
Y−n = 1
n�
Xi.
n
i=1
Die folgende Rechnung zeigt, dass (Y−n)n∈N ein F-Rückwärtsmartingal ist: Adaptiertheit
ist klar. Außerdem ist nach Satz 12.10 (mit k = n und ϕ(X1,...,Xn) =
1
n−1 (X1 + ...+ Xn−1))
E � � �
Y−n+1
�
1
F−n =
n!
�
ϱ∈S(n)
1 � �
Xϱ(1) + ...+ Xϱ(n−1) = Y−n.
n − 1
Betrachten wir statt F die kleinere Filtration G =(Gn)n∈−N, diefür n ∈ N durch
G−n = σ(Y−n,Xn+1,Xn+2,...) = σ(Y−n,Y−n−1,Y−n−2,...) definiert wird,
also die von Y erzeugte Filtration, so ist Y natürlich auch bezüglich G ein Rückwärtsmartingal
(siehe Bemerkung 9.29). ✸
Seien a