Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

13.2 Schwache und vage Konvergenz 247
Übung 13.2.7. Wir können die Begriffe schwache Konvergenz und vage Konvergenz
auf Ladungsverteilungen ausdehnen, also auf Differenzen ϕ := μ + −μ− von Maßen
aus Mf (E) beziehungsweise M(E), indem wir den Wortlaut von Definition 13.12
auf diese Klassen anwenden. Man zeige, dass man hier die schwache Konvergenz
im Allgemeinen nicht metrisieren kann.
Anleitung: Man betrachte E =[0, 1].
(i) Für n ∈ N definiere ϕn = δ1/n − δ2/n. Zeige: Für jedes C>0 konvergiert
(Cϕn)n∈N schwach gegen das Nullmaß.
(ii) Man nehme an, dass es eine Metrik gäbe, die die schwache Konvergenz erzeugt.
Man zeige: Dann gäbe es eine Folge (Cn)n∈N mit Cn ↑ ∞ und
0=w-lim
n→∞ (Cnϕn).
(iii) Wähle ein f ∈ C([0, 1]) mit f(2−n )=(−1) nC −1/2
n
� � �
zeige: fd(Cnϕn)
n∈N
konvergiert nicht gegen Null.
für jedes n ∈ N und
(iv) Man führe diese Konstruktion zum Widerspruch mit der Metrisierbarkeitsannahme.
♣
Übung 13.2.8. Man zeige, dass durch (13.3) eine Metrik auf M1(E) definiert wird,
und dass diese die Topologie der schwachen Konvergenz erzeugt. ♣
Übung 13.2.9. Man zeige die Implikation ” (vi) =⇒ (iv)“ aus Satz 13.16 direkt. ♣
Übung 13.2.10. Seien X, X1,X2,... und Y1,Y2,... reelle Zufallsvariablen. Es
gelte PYn = N0,1/n für jedes n ∈ N. Man zeige: Es gilt genau dann Xn
D
−→ X,
wenn Xn + Yn
D
−→ X. ♣
Übung 13.2.11. Betrachte die Maße μn := 1
n (δ 1/n +...+δ (n−1)/n +δ1) auf [0, 1].
Zeige, dass μn schwach gegen das Lebesgue-Maß auf [0, 1] konvergiert. ♣
Übung 13.2.12. Für jedes n ∈ N sei Xn eine geometrisch verteilte Zufallsvariable
mit Parameter pn ∈ (0, 1). Wie muss die Folge (pn)n∈N gewählt sein, damit P Xn/n
schwach gegen die Exponentialverteilung mit Parameter α>0 konvergiert? ♣
Übung 13.2.13. Seien X, X1,X2,... reelle Zufallsvariablen mit Xn
Zeige:
(i) E[|X|] ≤ lim infn→∞ E[|Xn|].
n→∞
=⇒ X.
(ii) Ist p > 0 und sup n∈N E[|Xn| r ] < ∞ für eine r > p, so gilt E[|X| p ] =
limn→∞ E[|Xn| p ]. ♣