Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

15.3 Der Lévy’sche Stetigkeitssatz 297
α := inf{h(x) : |x| ≥1} =1− sin(1) > 0. Jetzt berechnen wir (unter Benutzung
der Markov’schen Ungleichung und des Satzes von Fubini) für K>0
� c
Pn [−K, K] � ≤ α −1
�
[−K,K] c
h(x/K) Pn(dx)
≤ α −1
�
h(x/K) Pn(dx)
R
= α −1
� � � 1
�
� �
1 − cos(tx/K) dt Pn(dx)
R 0
= α −1
� 1 � �
�
� �
1 − cos(tx/K) Pn(dx) dt
= α −1
0
� 1
0
R
� 1 − Re(ϕn(t/K)) � dt.
Wir erhalten nun (mit dem Satz von der majorisierten Konvergenz)
lim sup
n→∞
Pn([−K, K] c ) ≤ α −1 � 1
lim sup
n→∞ 0
� 1
= α −1
= α −1
0
� 1
0
� 1 − Re(ϕn(t/K)) � dt
� �
lim 1 − Re(ϕn(t/K))
n→∞
��
dt
� �
1 − Re(f(t/K)) dt.
Da f stetig und f(0) = 1 ist, konvergiert das letzte Integral gegen 0,wennK →∞.
Also ist (Pn)n∈N straff. ✷
Eine einfache Anwendung des Lévy’schen Stetigkeitssatzes auf Beispiel 15.15 liefert
den folgenden Satz von Pólya.
Satz 15.24 (Pólya). Sei f : R → [0, 1] stetig und gerade mit f(0) = 1. Ferner sei
f auf [0, ∞) konvex. Dann ist f die charakteristische Funktion eines W-Maßes.
Beweis. Wir können f auf [0, ∞) durch konvexe Polygonzüge fn approximieren,
indem wir fn(k/n) = f(k/n) setzen für k = 0,...,n2 und fn zwischen den
Stützstellen linear interpolieren und rechts von n konstant fortsetzen. Für x0 ist ϕα,r(t) =e−|rt|α die charakteristische
Funktion eines symmetrischen W-Maßes μα,r auf R.