Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

9.4 Diskreter Martingaldarstellungssatz und CRR Modell 195
zwei Unbekannten gelöst werden. Im Falle von drei möglichen Werten von Xn+1 −
Xn wären dies drei Gleichungen für zwei Unbekannte, und im Allgemeinen ist
dieses Gleichungssystem dann nicht lösbar.
Definition 9.42 (Binäres Modell). Ein stochastischer Prozess X0,...,XT heißt
binäres Modell, falls es Zufallsvariablen D1,...,DT mit Werten in {−1, +1} gibt
und Funktionen fn : R n−1 ×{−1, +1} →R für n =1,...,T, sowie x0 ∈ R,
sodass X0 = x0 und
Xn = fn(X1,...,Xn−1,Dn) für jedes n =1,...,T.
Mit F = σ(X) bezeichnen wir dann die von X erzeugte Filtration.
Man beachte, dass Xn nur von X1,...,Xn−1 und Dn abhängt und nicht von der
vollen Information der Werte D1,...,Dn. Man mache sich klar, dass im letzteren
Fall eine mehr als binäre Aufspaltung der Werte in einem Zeitschritt möglich wäre.
Satz 9.43 (Darstellungssatz). Sei X ein binäres Modell und VT eine FT -messbare
Zufallsvariable. Dann existiert ein beschränkter, vorhersagbarer Prozess H und ein
v0 ∈ R mit VT = v0 +(H ·X)T .
Man beachte, dass F die von X erzeugte Filtration ist, nicht die im Allgemeinen
größere, von D1,...,DT erzeugte. Für diese ist die Aussage des Satzes im Allgemeinen
nicht zutreffend, weil wir eben mit H nicht auf die Di sondern nur auf X
wetten können.
Beweis. Wir zeigen, dass es FT −1-messbare Zufallsvariablen VT −1 und HT gibt,
sodass VT = VT −1 + HT (XT − XT −1). Dies liefert per Rückwärtsinduktion die
gewünschte Aussage.
Da VT messbar ist bezüglich FT , existiert nach dem Faktorisierungslemma (Korollar
1.97) eine Funktion gT : RT → R mit VT = gT (X1,...,XT ). Wir setzen
X ±
T = fT (X1,...,XT−1, ±1) und V ±
T
= gT (X1,...,XT −1,X ±
T ).
Jede dieser vier Zufallsvariablen ist offenbar FT −1-messbar. Wir suchen nun also
VT −1 und HT , die das folgende lineare Gleichungssystem lösen
Per Konstruktion ist X +
T
auflösen und erhalten
VT −1 + HT (X −
T − XT −1) =V −
T ,
VT −1 + HT (X +
T − XT −1) =V +
T .
HT :=
− X−
T
⎧
⎨
⎩
�=0, falls V +
T
− V −
T
V + −
T −VT X +
T −X−
, falls X
T
+
T
0, sonst,
(9.3)
�=0.Alsokönnen wir (9.3)
�= X−
T ,
und VT −1 = V +
T − HT (X +
T − XT −1) =V −
T − HT (X −
T − XT −1). ✷