Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

17.5 Anwendung: Rekurrenz und Transienz von Irrfahrten 355
lim inf
N→∞ GN (0, 0) ≥ 1
2ε
für jedes ε>0.
Wir haben damit G(0, 0) = ∞ und folglich die Rekurrenz von X gezeigt.
Zusammen mit der vorangehenden, einfachen Richtung haben wir gezeigt:
Satz 17.40. Eine Irrfahrt auf Z mit �∞ kurrent, wenn �∞ x=−∞ xp(0,x)=0gilt.
x=−∞
|x| p(0,x) < ∞ ist genau dann re-
Wie steht es nun für symmetrische einfache Irrfahrten in Dimension D =2und
höheren Dimensionen? Damit die Irrfahrt nach 2n Schritten wieder im Ursprung
ist, muss sie ki Schritte in die i-te Richtung machen und ki Schritte in die Gegenrichtung,
wobei k1 + ...+ kD =2nist. Wir erhalten also
p 2n (0, 0) = (2D) −2n
�
�
�
2n
, (17.20)
k1,k1,...,kD,kD
k1+...+kD=n
wobei � � N
N! = l1,...,lr l1!···lr! der Multinomialkoeffizienten ist. Speziell ist für D =2
p 2n (0, 0) = 4 −2n
=4 −2n
n�
k=0
� 2n
n
(2n)!
(k!) 2 ((n − k)!) 2
� n �
k=0
� �� � �
n n
= 2
k n − k
−2n
� ��2 2n
,
n
wobei wir im letzten Schritt eine einfache kombinatorische Identität benutzt haben,
die beispielsweise direkt aus der Faltungsformel (bn,p ∗ bn,p)({n}) =b2n,p({n})
folgt. Nach der Stirling’schen Formel gilt nun
√ −2n
lim n 2
n→∞
� 2n
n
�
= 1
√ π ,
also limn→∞ np2n (0, 0) = 1
π . Insbesondere ist also �∞ n=1 p2n (0, 0) = ∞, das
heißt, die zweidimensionale, symmetrische einfache Irrfahrt ist rekurrent.
Für D ≥ 3 lässt sich die Summe über die Multinomialkoeffizienten nicht mehr in
befriedigender Weise ausrechnen. Man kann allerdings immer noch obere Abschätzungen
angeben, die zeigen, dass es ein c = cD gibt, sodass p2n (0, 0) ≤ cn−D/2 gilt,
woraus dann G(0, 0) ≤ c �∞ n=1 n−D/2 < ∞ folgt (siehe etwa [58, Beispiel 6.30]
oder [52, Seite 361]). Wir wollen hier jedoch eine andere Argumentation verfolgen.
Die Sache wäre ganz einfach, wenn die einzelnen Koordinaten der Kette unabhängig
wären. Dann wäre ja die Wahrscheinlichkeit, dass zur Zeit 2n alle Koordinaten
gleich Null sind, gleich der D-ten Potenz der Wahrscheinlichkeit, dass etwa die
erste Koordinate gleich Null ist. Für eine Koordinate ist aber (weil sich eine einzelne
Koordinate ja nur mit Wahrscheinlichkeit 1/D bewegt, also nur Varianz 1/D