Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

14.3 Satz von Ionescu-Tulcea und Projektive Familien 275
Sei Ãn := {A × Ωn+1 : A ∈A {0,...,n}} und das W-Maß ˜ Pn auf (Ω {0,...,n+1}, Ãn )
definiert durch ˜ Pn(A×Ωn+1) =Pn(A) für A ∈A {0,...,n}. Die Projektivität liefert,
�
dass Pn+1�
n
à = ˜ Pn. Nach dem Satz über die Existenz regulärer bedingter Vertei-
lungen (Satz 8.36) existiert ein stochastischer Kern κ ′ n+1 von (Ω {0,...,n+1}, Ãn )
nach (Ωn+1, An+1) mit
Pn+1(A)
��
= A(ω0,...,ωn, ˜ωn+1) κ ′ n+1((ω0,...,ωn+1),d˜ωn+1) ˜ Pn(d(ω0,...,ωn+1))
für jedes A ∈A {0,...,n+1}. Daκ ′ n+1( · ,A) messbar ist bezüglich Ãn ,hängt κ ′ n+1
nicht von ωn+1 ab. Durch
κn+1((ω0,...,ωn), · ):=κ ′ n+1((ω0,...,ωn+1), · )
wird also ein stochastischer Kern von (Ω {0,...,n}, A {0,...,n}) nach (Ωn+1, An+1)
definiert mit
��
Pn+1(A)=
A(ω0,...,ωn+1) κn+1((ω0,...,ωn),dωn+1) Pn(d(ω0,...,ωn)).
Mithin gilt Pn+1 = Pn ⊗ κn+1, und wir können Satz 14.32 anwenden. ✷
Als letzten Schritt in unserer Konstruktion wollen wir in Satz 14.35 die abzählbare
Indexmenge durch eine beliebige Indexmenge ersetzen.
Satz 14.36 (Kolmogorov’scher Erweiterungssatz). Sei I eine beliebige Indexmenge,
und seien (Ωi, Ai) Borel’sche Messräume, i ∈ I.Sei(PJ, J⊂ I endlich)
eine projektive Familie von W-Maßen. Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes W-
Maß P auf (Ω,A) mit PJ = P ◦ X −1
J . Wir nennen P den projektiven Limes und
PJ.
bezeichnen ihn in Formeln mit P =: lim
←−
J↑I
Beweis. Für abzählbares J ⊂ I gibt es nach Satz 14.35 ein eindeutig bestimmtes
Maß PJ auf (ΩJ, AJ) mit PJ ◦ (X J K )−1 = PK für endliches K ⊂ J. Durch
˜PJ(X −1
J (AJ)) := PJ(AJ), AJ ∈AJ, wird hieraus ein Maß auf (Ω,σ(XJ)).
Seien J, J ′ ⊂ I höchstens abzählbar und A ∈ σ(XJ) ∩ σ(XJ ′) ∩Zein σ(XJ) ∩
σ(XJ ′)-messbarer Zylinder mit endlicher Basis. Dann existiert ein endliches K ⊂
J ∩ J ′ und AK ∈AK mit A = X −1
K (AK).Alsoist˜ PJ(A) =PK(AK) = ˜ PJ ′(A).
Nach Satz 14.12 ist dann aber auch ˜ PJ(A) =PK(AK) = ˜ PJ ′(A) für alle A ∈
σ(XJ) ∩ σ(XJ ′). Nun gibt es (nach Übung 14.1.1) für jedes A ∈Aein abzählbares
J ⊂ I mit A ∈ σ(XJ), also können wir auf eindeutige Weise (und unabhängig von
der Wahl von J) eine Mengenfunktion P auf A definieren durch P (A) = ˜ PJ(A).Es
bleibt zu zeigen, dass P ein W-Maß ist. Offenbar ist P (Ω) =1.SindA1,A2,...∈