Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

248 13 Konvergenz von Maßen
13.3 Der Satz von Prohorov
Sei E stets ein polnischer Raum mit Borel’scher σ-Algebra E. Eine grundlegende
Frage ist, wann eine Folge (μn)n∈N von Maßen auf (E,E) einen schwachen Grenzwert
besitzt, oder wenigstens einen schwachen Häufungspunkt. Eine offensichtlich
notwendige Bedingung ist, dass (μn(E))n∈N beschränkt ist, deshalb werden wir
ohne Beschränkung der Allgemeinheit nur Folgen in M≤1(E) betrachten. Dies ist
allerdings nicht hinreichend, denn beispielsweise konvergiert die Folge (δn)n∈N von
W-Maßen auf R nicht schwach. Wir müssen also zusätzlich noch sicher stellen, dass
keine Masse ins Unendliche auswandert“. Dies liefert gerade die Bedingung der
”
Straffheit.
Wir beginnen diesen Abschnitt, indem wir zunächst als Hauptsatz den Satz von
Prohorov [128] vorstellen. Wir geben den Beweis erst in dem Spezialfall E = R an
und kommen dann zu Anwendungen, bevor wir den Satz am Ende des Abschnitts
in voller Allgemeinheit beweisen.
Definition 13.26 (Straffheit). Eine Familie F ⊂ Mf (E) heißt straff, falls zu
jedem ε>0 eine kompakte Menge K ⊂ E existiert mit
sup � μ(E \ K) : μ ∈F � 0 und K =[−C/ε,C/ε] ist
nach der Markov’schen Ungleichung PXi (R \ K) =P[|Xi| >C/ε] ≤ ε.
(iii) Die Familie (δn)n∈N von W-Maßen auf R ist nicht straff.
(iv) Die Familie (U [−n,n])n∈N von uniformen Verteilungen auf den Intervallen
[−n, n] ist nicht straff. ✸