Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

362 17 Markovketten
Also ist (wegen p 0(x, z) =0)
∞�
∞�
∞�
μx p({z}) = pn+1(x, z) = pn(x, z) = pn(x, z) =μx({z}).
n=0
2. Fall: x = z. Jetzt ist
�
pn(x, y)p(y, x) = �
y∈E
y∈E
�
1 Also ist (wegen Px τx =0 � =0)
μx p({x}) =
n=1
n=0
�
Px Xn = y; τ 1 x >n; Xn+1 = x � � 1
= Px τx = n +1 � .
∞�
n=0
� 1
Px τx = n +1 � =1=μx({x}). ✷
Korollar 17.48. Ist x positiv rekurrent, so wird durch π({x}) := μx
Ex [τ 1 für x ∈ E
x]
eine invariante Verteilung π definiert.
Satz 17.49. Ist X irreduzibel, so hat X höchstens eine invariante Verteilung.
Bemerkung 17.50. Man kann auch zeigen: Ein invariantes Maß von X ist bis auf
einen Faktor eindeutig. Der Beweis ist allerdings aufwändiger als der für invariante
Verteilungen. Weil die Aussage hier nicht benötigt wird, verweisen wir lediglich auf
[38, Theorem 5.4.4]. ✸
Beweis. Seien π und ν invariante Verteilungen. Wähle einen beliebigen Wahrscheinlichkeitsvektor
(gn)n∈N mit gn > 0 für jedes n ∈ N. Definiere die stochastische
Matrix �p(x, y) = �∞ n=1 gn pn (x, y). Dannist�p(x, y) > 0 für alle x, y ∈ E
und π�p = π sowie ν�p = ν.
Betrachte nun das signierte Maß μ = π − ν. Es gilt μ�p = μ. Wäre nun μ �= 0,so
gäbe es (wegen μ(E) =0) Punkte x1,x2 ∈ E mit μ({x1}) > 0 und μ({x2}) < 0.
Offensichtlich wäre für jedes y ∈ E dann � �μ({x1}) p(x1,y)+μ({x2}) p(x2,y) � �
�
<
�μ({x1}) p(x1,y) � �
� + �μ({x2}) p(x2,y) � � , also
� �
� μ�p �TV = �
�
� �
�
�
�
� μ({x})�p(x, y) �
�
y∈E x∈E
< � �
|μ({x})| �p(x, y) = �
|μ({x})| = � μ �TV.
y∈E x∈E
Da dies widersprüchlich ist, gilt μ =0. ✷
Es sei daran erinnert, dass I die Menge der invarianten Verteilungen von X ist.
x∈E