Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

168 8 Bedingte Erwartungen
Offenbar ist P[B |A] =E[ B |A] für jedes B ∈A.
Wir betrachten nun die Situation, die wir bei der Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit
untersucht hatten. Sei also I eine höchstens abzählbare Menge, und
seien (Bi)i∈I paarweise disjunkte Ereignisse mit �
Bi = Ω. Wirdefinieren F :=
σ(Bi, i∈ I). Für X ∈L 1 (P) definieren wir eine Abbildung E[X |F]:Ω → R
durch
E[X |F](ω) =E[X |Bi] ⇐⇒ Bi ∋ ω. (8.6)
Lemma 8.10. Die Abbildung E[X |F] hat die folgenden Eigenschaften:
(i) E[X |F] ist F-messbar,
(ii) E[X |F] ∈L1 �
(P), und für jedes A ∈Fgilt
Beweis. (i) Sei f die Abbildung f : Ω → I, mit
i∈I
f(ω) =i ⇐⇒ Bi ∋ ω.
A
�
E[X |F] dP =
A
XdP.
Ferner sei g : I → R, i ↦→ E[X |Bi]. DaI diskret ist, ist g messbar. Da f messbar
ist bezüglich F, ist auch E[X |F]=g ◦ f messbar bezüglich F.
(ii) Sei A ∈Fund J ⊂ I mit A = �
j∈J Bj. SeiJ ′ := {i ∈ J : P[Bi] > 0}.
Dann ist
�
E[X |F] dP = �
P[Bi] E[X |Bi] = �
E[ BiX]= �
XdP. ✷
A
i∈J ′
Übung 8.1.1 (Gedächtnislosigkeit der Exponentialverteilung). Sei X eine nichtnegative
Zufallsvariable und θ>0. Man zeige: Genau dann ist X exponentialverteilt,
wenn
i∈J ′
P[X >t+ s|X >s]=P[X >t] für alle s, t ≥ 0.
Insbesondere gilt für θ>0: Genau dann ist X ∼ exp θ,wennP[X >t+ s|X >
s] =e −θt für alle s, t ≥ 0 gilt. ♣
8.2 Bedingte Erwartungen
Wir nehmen an, dass X eine uniform auf [0, 1] verteilte Zufallsvariable ist, und dass
bei Kenntnis des Wertes X = x die Zufallsvariablen Y1,...,Yn unabhängig und
Berx-verteilt sind. Mit unserem Apparat können wir bisher bedingte Wahrscheinlichkeiten
vom Typ P[ · |X ∈ [a, b]], a < b, ausrechnen. Wie sieht es aber aus
A