Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

Vorwort
Das vorliegende Buch basiert auf den vierstündigen Vorlesungen Stochastik I und
Stochastik II, die ich in den vergangenen Jahren an der Universität zu Köln und
an der Johannes Gutenberg-Universität in Mainz gehalten habe, und die an eine
Vorlesung über elementare Stochastik anschließen. Eine gewisse Vertrautheit mit
den Ideen der elementaren Stochastik wird zwar nicht formal vorausgesetzt, dem
Leser jedoch empfohlen.
Ziel dieses Buches ist es, die zentralen Objekte und Konzepte der Wahrscheinlichkeitstheorie
vorzustellen: Zufallsvariablen, Unabhängigkeit, Gesetze der großen
Zahl und zentrale Grenzwertsätze, Martingale, Austauschbarkeit und unbegrenzte
Teilbarkeit, Markovketten und -prozesse sowie den Zusammenhang mit der diskreten
Potentialtheorie, Kopplung, Ergodentheorie, die Brown’sche Bewegung und
das Itô-Integral (nebst stochastischen Differentialgleichungen), den Poisson’schen
Punktprozess, Perkolation und die Theorie der großen Abweichungen, sowie stochastische
Differentialgleichungen.
Die Maß- und Integrationstheorie wird entwickelt, soweit sie für das Verständnis
und die Formulierung der Wahrscheinlichkeitstheorie notwendig ist: Konstruktion
von Maßen und Integralen, Satz von Radon-Nikodym und reguläre bedingte Verteilungen,
Konvergenzsätze für Funktionen (Lebesgue) und Maße (Prohorov) und
Konstruktion von Maßen in Produkträumen. Die einzelnen maßtheoretischen Kapitel
kommen nicht als Block am Anfang des Buches, obwohl sie so geschrieben sind,
dass das möglich wäre, nämlich unabhängig von den wahrscheinlichkeitstheoretischen
Kapiteln, sondern abwechselnd mit wahrscheinlichkeitstheoretischen Kapiteln,
die so gebaut sind, dass sie mit den gerade zur Verfügung stehenden Begriffen
auskommen (beispielsweise kann man Perkolation studieren, ohne einen Integralbegriff
an der Hand zu haben). Als einzige Ausnahme wird die systematische Konstruktion
von unabhängigen Zufallsvariablen erst im 14ten Kapitel nachgeliefert.
Ich verspreche mir von diesem Vorgehen eine Auflockerung des maßtheoretischen
Stoffes, der von manchen als etwas trocken empfunden wird. Letztlich ist dieses
genauso eine Geschmacksfrage wie diejenige, welches der beiden Themen als linke
und welches als rechte Hand anzusehen ist.
Wer eine maßtheoretische Grundbildung hat, kann insbesondere das erste Kapitel
beim ersten Lesen zunächst überspringen und braucht eventuell nur Einzelnes darin
nachzuschlagen. Das Gleiche gilt für das vierte Kapitel (Integrationstheorie).