Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

8.2 Bedingte Erwartungen 171
Also gilt E[ A Y E[X |F]] = E[ A YX]. Im allgemeinen Fall schreiben wir X =
X + − X − und Y = Y + − Y − und nutzen die Linearität der bedingten Erwartung
aus.
(iv) Die zweite Gleichung folgt aus (iii) mit Y = E[X |G] und X =1. Sei nun
A ∈G. Dann ist insbesondere auch A ∈F, also
E � AE[E[X |F]|G] � = E � AE[X |F] � = E[ A X] = E � A E[X |G] � .
(v) Das folgt aus (i) und (ii) mit X = X + − X − .
(vi) Trivialerweise ist E[X] messbar bezüglich F. SeiA ∈F. Dann sind X und
A unabhängig, also ist E[E[X |F] A] =E[X A] =E[X] E[ A].
(vii) Für jedes A ∈Fund B ∈Agilt P[A ∩ B] =0, falls P[A] =0ist, und
P[A∩B] =P[B], falls P[A] =1ist. Also ist F von A unabhängig und damit auch
von jeder Teil-σ-Algebra von A. Speziell ist F von σ(X) unabhängig. Die Aussage
folgt also aus (vi).
n→∞
(viii) Sei |Xn| ≤Y für jedes n ∈ N und Xn −→ X fast sicher. Setze Zn :=
supk≥n |Xk − X|. Dannist0≤ Zn ≤ 2Y und Zn
f.s.
−→ 0. Nach Korollar 6.26
(majorisierte Konvergenz) gilt E[Zn] n→∞
−→ 0, also nach der Dreiecksungleichung
E �� �E[Xn |F]−E[X |F] � � � ≤ E[E[|Xn−X| � �F]] = E[|Xn−X|] ≤ E[Zn] n→∞
−→ 0.
Dies ist aber die L1 �
(P)-Konvergenz in (8.7). Sei Z := lim supn→∞ E[Zn
�F].
Nach dem Lemma von Fatou ist
E[Z] ≤ lim
n→∞ E[Zn] = 0,
�
also Z =0und damit E[Zn
�F] n→∞
−→ 0 fast sicher. Nach (v) ist aber
� � � �
�E[Xn
�F] − E[X �F] � ≤ E[Zn]. ✷
Bemerkung 8.15. Intuitiv ist E[X |F] die beste Vorhersage, die wir für den Wert
von X machen können, wenn uns die Information aus der σ-Algebra F zur Verfügung
steht. Ist beispielsweise σ(X) ⊂ F, kennen wir also X schon, dann ist
E[X |F] =X, wie in (iii) gezeigt. Am anderen Ende der Skala ist der Fall, wo
X und F unabhängig sind, wir also durch Kenntnis von F keine Information über
X gewinnen. Hier ist die beste Vorhersage für X der Erwartungswert selber, also
E[X] =E[X |F] wie in (vii) gezeigt.
Was heißt dabei aber eigentlich genau ” beste Vorhersage“? Wir wollen dies für quadratintegrierbare
Zufallsvariablen X als diejenige F-messbare Zufallsvariable verstehen,
die den L 2 –Abstand zu X minimiert. Dass dies die bedingte Erwartung
tatsächlich tut, ist der Inhalt des folgenden Korollars. ✸