Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

78 3 Erzeugendenfunktion
� �
α
:=
k
Es gilt die erweiterte binomische Formel:
Speziell gilt
(1 + x) α =
1
√ 1 − x =
∞�
n=0
∞�
k=0
α · (α − 1) ···(α − k +1)
. (3.8)
k!
� �
α
x
k
k
� �
2n
4
n
−n x n
für jedes x ∈ C mit |x| < 1. (3.9)
für jedes x ∈ C mit |x| < 1. (3.10)
Beweis. Die Abbildung f : x ↦→ (1 + x) α ist holomorph bis auf eventuell eine
Singularität bei x = −1, ist also um 0 in eine Potenzreihe entwickelbar mit Radius
mindestens 1:
f(x) =
∞�
k=0
f (k) (0)
k!
x k
für |x| < 1.
Für k ∈ N0 ist die k-te Ableitung f (k) (0) = α(α − 1) ···(α − k +1), also folgt
(3.9).
Der Zusatz folgt, weil für α = −1/2 gilt, dass � � � � −1/2 2n −n
n = n (−4) . ✷
Übung 3.1.1. Man zeige b − r,p ∗ b − s,p = b − r+s,p für r, s ∈ (0, ∞) und p ∈ (0, 1]. ♣
3.2 Poisson-Approximation
Lemma 3.6. Seien μ und (μn)n∈N W-Maße auf (N0, 2N0 ) mit Erzeugendenfunktionen
ψμ und ψμn ,n∈ N. Dann sind äquivalent
(i) μn({k}) n→∞
−→ μ({k}) für jedes k ∈ N0,
(ii) μn(A) n→∞
−→ μ(A) für jedes A ⊂ N0,
(iii) ψn(z) n→∞
−→ ψ(z) für jedes z ∈ [0, 1],
(iv) ψn(z) n→∞
−→ ψ(z) für jedes z ∈ [0,η) für ein η>0.
Gilt eine der vier Bedingungen, so schreiben wir μn
konvergiere schwach gegen μ.
n→∞
−→ μ und sagen (μn)n∈N
Beweis. (i) =⇒ (ii) Sei ε>0 und N ∈ N so gewählt, dass μ({N +1,N +
2,...}) < ε
4 .Für hinreichend großes n0 ∈ N ist ferner