Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

420 20 Ergodentheorie
Dann ist F1 ⊂ F2 ⊂ ... und
∞�
n=1
Fn =
�
1
sup
k∈N k Sε k > 0
�
=
�
1
sup
k∈N k Sk
�
>ε ∩ F = F,
also Fn ↑ F . Majorisierte Konvergenz liefert E [Xε n→∞
0 Fn ] −→ E [Xε 0].
Nach dem Maximal-Ergodenlemma (angewandt auf Xε )istE [Xε 0 Fn ] ≥ 0, also
0 ≤ E [X ε 0]=E [(X0 − ε) F ]=E [E [X0 |I] F ] − εP[F ]=−εP[F ].
Mithin ist P[F ]=0. ✷
Als Folgerung erhält man den statistischen Ergodensatz oder L p -Ergodensatz, den
von Neumann 1931 vor Birkhoff gefunden hat. Zur Vorbereitung bringen wir ein
elementares Lemma.
Lemma 20.15. Sei p ≥ 1, und seien X0,X1,... identisch verteilte, reelle Zufallsvariablen
mit E[|X0| p � n−1
� � �
�
] < ∞. Setzen wir Yn :=
für n ∈ N, soist
(Yn)n∈N gleichgradig integrierbar.
� 1
n
Xk�
k=0
p
Beweis. Offenbar ist die einelementige Familie {|X0| p } gleichgradig integrierbar.
Nach Satz 6.19 existiert also eine monoton wachsende, konvexe Abbildung
f :[0, ∞) → [0, ∞) mit f(x)
x →∞für x →∞und C := E[f(|X0| p )] < ∞. Nach
Satz 6.19 reicht es wiederum zu zeigen, dass E[f(Yn)] ≤ C für jedes n ∈ N. Nach
der Jensen’schen Ungleichung (für x ↦→ |x| p )ist
Yn ≤ 1
n−1
n
k=0
�
|Xk| p .
Die Jensen’sche Ungleichung (diesmal auf f angewandt) liefert dann
�
n−1
1 �
f(Yn) ≤ f |Xk|
n
p
�
≤ 1
n−1 �
f(|Xk|
n
p ),
k=0
also E[f(Yn)] ≤ 1
n−1 �
n E[f(|Xk| p )] = C. ✷
k=0
Satz 20.16 (L p -Ergodensatz, von Neumann 1931). Sei (Ω,A, P,τ) ein maßerhaltendes
dynamisches System, p ≥ 1, X0 ∈L p (P) und Xn = X0 ◦ τ n . Dann
gilt
n−1
1 �
n
Xk
k=0
Ist speziell τ ergodisch, so gilt 1
n
k=0
n→∞
−→ E[X0 |I] in L p (P).
n−1 �
Xk
k=0
n→∞
−→ E[X0] in L p (P).