Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

21.10 Quadratische Variation und lokale Martingale 467
Satz 21.55. Sei W eine Brown’sche Bewegung. Dann gilt V 1
t (W )=∞ fast sicher
für jedes t>0.
Beweis. Es reicht, t =1zu betrachten und zu zeigen, dass
Yn :=
2 n
� �
�
i=1
�Wi2−n − W (i−1)2−n� n→∞
�
−→ ∞ f.s. (21.52)
Es ist E[Yn] =2 n/2 E[|W1|] =2 n/2� 2/π und Var[Yn] =1− 2/π. Nach der
Chebyshev’schen Ungleichung ist
∞�
n=1
�
P Yn ≤ 1
2 2n/2� �
2/π ≤
∞�
n=1
2π − 4
2 n
=2π− 4 < ∞.
Nach dem Lemma von Borel-Cantelli folgt (21.52). ✷
Offenbar ist die Variation ein zu grobes Maß, um wesentliche Pfadeigenschaften
der Brown’schen Bewegung zu messen. Wir wollen daher statt der Zuwächse (in
der Definition der Variation) die (kleineren) quadratischen Zuwächse summieren.
Für die Definition dieser quadratischen Variation ist etwas mehr Vorsicht nötig als
in Definition 21.52 für die Variation.
Definition 21.56. Eine Folge P = (P n )n∈N von abzählbaren Teilmengen von
[0, ∞)
P n := {t0,t1,t2,...} mit 0=t0