Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

236 13 Konvergenz von Maßen
Die Elemente von M≤1(E) nennen wir Sub-Wahrscheinlichkeitsmaße auf E.
Ferner vereinbaren wir die folgende Notation für Mengen von stetigen Funktionen
C(E) := � f : E → R ist stetig � ,
Cb(E) := � f ∈ C(E) ist beschränkt � ,
Cc(E) := � f ∈ C(E) hat kompakten Träger � ⊂ Cb(E).
Der Träger einer reellen Funktion f ist dabei f −1 (R \{0}).
Ist nichts anderes vereinbart, so sind die Vektorräume C(E), Cb(E) und Cc(E) mit
der Supremumsnorm ausgestattet.
Lemma 13.5. Ist E polnisch und μ ∈Mf (E), so existiert zu jedem ε>0 eine
kompakte Menge K ⊂ E mit μ(E \ K) 0. Zu jedem n ∈ N existieren xn 1 ,xn 2 ,... ∈ E mit E =
∞�
B1/n(xn i ).Wähle Nn
� Nn �
∈ N so, dass μ E \ B1/n (x n �
i ) < ε
. Setze
2n i=1
A :=
∞�
Nn �
n=1 i=1
i=1
B 1/n (x n i ) .
Nach Konstruktion ist A total beschränkt. Da E polnisch ist, ist also A kompakt.
Außerdem folgt μ � E \ A � ≤ μ � E \ A � < ∞�
ε 2−n = ε. ✷
Satz 13.6. Ist E polnisch und μ ∈ Mf (E), soistμ regulär. Speziell ist dann
Mf (E) ⊂M(E).
Beweis. Sei B ∈ E und ε > 0. Nach dem Approximationssatz (Satz 1.65 mit
A = τ) gibt es eine offene Menge U ⊃ B mit μ(U \ B)