Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

196 9 Martingale
Wir wollen nun X als Kurs einer Aktie auffassen und VT als Auszahlungsfunktion
eines Finanzderivats auf X, eines so genannten Claims. Beispielsweise kann
VT eine europäische Kaufoption (Call) mit Fälligkeitszeitpunkt (maturity) T und
Ausübungspreis (strike price) K ≥ 0 sein. In diesem Fall wäre VT =(XT − K) + .
Ökonomisch ausgedrückt gibt diese Option dem Käufer das Recht (aber nicht die
Pflicht) vom Herausgeber der Option zum Zeitpunkt T die Eingehung eines Kaufvertrages
über eine Aktie zum Preis K einzufordern. Von diesem Recht macht man
sinnvollerweise nur dann Gebrauch, wenn XT ≥ K ist. In diesem Fall kann man
die erworbene Aktie zum Preis XT wieder an der Börse verkaufen und hat einen
Gewinn von VT gemacht.
An den Börsen werden nun aber nicht nur Aktien, sondern auch Derivate auf Aktien
gehandelt. Welches ist also der faire Preis π(VT ) für den eine Börsenhändlerin
den Claim VT anbieten kann? Gibt es eine Strategie H und ein v0, sodass VT =
v0 +(H ·X)T ist, dann kann die Händlerin gegen Bezahlung von v0 risikolos VT
nachbilden, indem sie H als Handelsstrategie an der Börse benutzt. Wir nennen den
Claim VT dann replizierbar und die Strategie H einen Hedge. Ein Markt, in dem
jeder Claim replizierbar ist, heißt vollständig. In diesem Sinne ist das Binärmodell
also ein vollständiger Markt.
Gäbe es nun eine zweite Strategie H ′ und ein zweites v ′ 0 mit v ′ 0 +(H ′ ·X)T = VT ,
so wäre insbesondere v0 − v ′ 0 =((H ′ − H)·X)T .Wäre v0 >v ′ 0,sokönnte die
Händlerin risikolos durch Verfolgen der Strategie H ′ − H einen Gewinn v0 − v ′ 0
machen, im Falle v0