Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

288 15 Charakteristische Funktion und Zentraler Grenzwertsatz
Übung 15.1.5. Seien X, Y, Z unabhängige nichtnegative reelle Zufallsvariablen,
sodass P[Z > 0] > 0, und sodass die Mellin-Transformierte mXZ(s) < ∞ ist
für ein s>0.
Zeige: Gilt XZ D = YZ,soistX D = Y . ♣
Übung 15.1.6. Sei μ ein W-Maß auf R mit integrierbarer charakteristischer Funktion
ϕμ, also ϕμ ∈L1 (λ), wobei λ das Lebesgue-Maß auf R ist. Man zeige, dass μ
absolutstetig ist und die stetige und beschränkte Dichte f = dμ
dλ gegeben ist durch
f(x) = 1
� ∞
e
2π −∞
−itx ϕμ(t) dt für jedes x ∈ R.
Anleitung: Man zeige dies zunächst für die Normalverteilung N0,ε, ε>0. Man
zeige dann, dass μ ∗N0,ε absolutstetig ist mit Dichte fε, die punktweise gegen f
konvergiert. ♣
Übung 15.1.7. Sei (Ω,τ) ein separabler topologischer Raum, der das T 3 1
2 -Trennungsaxiom
erfüllt: Zu jeder abgeschlossenen Menge A ⊂ Ω und jedem Punkt
x ∈ Ω \ A existiert eine stetige Funktion f : Ω → [0, 1] mit f(x) = 0 und
f(y) =1für jedes y ∈ A. (Insbesondere ist jeder metrische Raum ein T 3 1
2 -Raum.)
Man zeige: σ(Cb(Ω)) = B(Ω), das heißt, die Borel’sche σ-Algebra wird durch die
beschränkten, stetigen Funktionen Ω → R erzeugt. ♣
15.2 Charakteristische Funktionen: Beispiele
Lemma 15.11. Sei X eine Zufallsvariable mit Werten in R d und charakteristischer
Funktion ϕX(t) =E � e i〈t,X〉� . Dann gelten
(i) |ϕX(t)| ≤1 für jedes t ∈ Rd und ϕX(0) = 1,
(ii) ϕaX+b(t) =ϕX(at) ei〈b,t〉 für jedes a ∈ R und b ∈ Rd ,
(iii) PX = P−X genau dann, wenn ϕ reellwertig ist,
(iv) Sind X und Y unabhängig, so ist ϕX+Y = ϕX · ϕY .
(v) Für jedes t ∈ R gilt für den Realteil 0 ≤ 1−Re(ϕX(2t)) ≤ 4(1−Re(ϕX(t))).
Beweis. (i) und (ii) sind trivial.
(iii) ϕX(t) =ϕX(−t) =ϕ−X(t).
(iv) Da e i〈t,X〉 und e i〈t,Y 〉 unabhängige Zufallsvariablen sind, gilt
ϕX+Y (t) =E � e i〈t,X〉 · e i〈t,Y 〉� = E � e i〈t,X〉� E � e i〈t,Y 〉� = ϕX(t) ϕY (t).