Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

294 15 Charakteristische Funktion und Zentraler Grenzwertsatz
und Lemma 15.11(ii) ist daher ψ die charakteristische Funktion des Maßes ν mit
ν(A) = 1
1
2δ0(A)+ 2μ(A/2) für A ⊂ R.Alsoist
⎧
⎪⎨
1
2 , falls x =0,
8
ν({x}) = π
⎪⎩
2x2 , falls x
0,
2 ∈ Z
sonst.
ungerade ist,
✸
Beispiel 15.18. Sei ϕ(t) =(1− 2|t|/π) + die charakteristische Funktion der Verteilung
” N.N.“ aus Satz 15.12 (mit a = π/2) und ψ die charakteristische Funktion
aus dem vorangehenden Beispiel. Man beachte, dass ϕ(t) =ψ(t) für |t| ≤π/2 und
ϕ(t) =0für |t| >π/2, also ϕ 2 = ϕ · ψ. Seien nun X, Y, Z unabhängige, reelle
Zufallsvariablen mit charakteristischen Funktionen ϕX = ϕY = ϕ und ϕZ = ψ.
Dann ist ϕXϕY = ϕXϕZ, also X + Y D = X + Z, jedoch stimmen die Verteilungen
von Y und Z nicht überein. ✸
Übung 15.2.1. Sei ϕ die charakteristische Funktion der d-dimensionalen Zufallsvariablen
X. Man zeige: Ist ϕ(t) =1für ein t �= 0,soistP[X ∈ Ht] =1,wo
Ht = {x ∈ R d : 〈x, t〉 ∈2πZ}
= � y + z · (2πt/�t� 2 2): z ∈ Z, y∈ R d mit 〈y, t〉 =0 � .
Man folgere, dass ϕ(t + s) =ϕ(s) ist für jedes s ∈ R d . ♣
Übung 15.2.2. Man zeige: Es gibt reelle Zufallsvariablen X, X ′ und Y,Y ′ mit X D =
X ′ und Y D = Y ′ , sodass X ′ und Y ′ unabhängig sind und X + Y D = X ′ + Y ′ gilt,
jedoch X und Y nicht unabhängig sind. ♣
Übung 15.2.3. Sei X eine reelle Zufallsvariable mit charakteristischer Funktion ϕ.
X heißt gitterverteilt, wennesa, d ∈ R gibt, sodass P[X ∈ a + dZ] =1. Zeige:
X ist genau dann gitterverteilt, wenn es ein u �= 0gibt mit |ϕ(u)| =1. ♣
15.3 Der Lévy’sche Stetigkeitssatz
Die Hauptaussage dieses Abschnitts ist der Stetigkeitssatz von Lévy (Satz 15.23),
der, grob gesprochen, besagt, dass eine Folge von charakteristischen Funktionen
genau dann punktweise gegen eine stetige Funktion konvergiert, wenn der Grenzwert
wieder eine charakteristische Funktion ist und die zugehörigen Wahrscheinlichkeitsmaße
schwach konvergieren. Wir bereiten den Beweis des Satzes mit ein
paar analytischen Aussagen vor.