Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

1.1 Mengensysteme 9
�
�
�
d(x, y) =�x − y�2 = � n �
(xi − yi) 2 .
(i) Es gibt Teilmengen von R n , die keine Borel’schen Mengen sind. Diese sind
kompliziert herzustellen, wie beispielsweise die Vitali-Mengen, die man in Analysisbüchern
findet (siehe etwa [7]). Wir wollen hier auf diesen Aspekt nicht näher
eingehen, sondern lediglich die - mathematisch unpräzise - Feststellung treffen, dass
jede Menge, die man sich konstruktiv herstellen kann, auch Borel’sch ist.
(ii) Jede abgeschlossene Menge C ⊂ R n ist in B(R n ),dennesistC c ∈ τ, also ist
C =(C c ) c ∈ σ(τ). Speziell ist {x} ∈B(R n ) für jedes x ∈ R n .
(iii) B(R n ) ist keine Topologie. Sei nämlich V ⊂ R n , V �∈ B(R n ).Wäre B(R n )
eine Topologie, so wären beliebige Vereinigungen Borel’scher Mengen wieder Borel’sch,
also auch V = �
x∈V {x} ∈B(Rn ). ✸
Das Mengensystem der offenen Mengen, das die Borel’sche σ-Algebra erzeugt, ist
in vielen Fällen unhandlich groß. Wir wollen daher andere Mengensysteme als Erzeuger
von B(Rn ) identifizieren, mit denen wir in der Praxis besser arbeiten können.
Hierzu wollen wir einerseits Mengen von einfacher Struktur, Quader etwa, betrachten,
andererseits aber auch die Größe des Systems einschränken, indem wir
abzählbare Mengensysteme betrachten. Wir führen folgende Notationen ein. Mit
Q bezeichnen wir die Menge der rationalen Zahlen, mit Q + die Menge der strikt
positiven rationalen Zahlen. Für a, b ∈ Rn schreiben wir
a