Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

5.1 Momente 99
Beweis. Wir nehmen zunächst an, dass X und Y nur endlich viele Werte annehmen.
Dann nimmt auch XY nur endlich viele Werte an, speziell ist offenbar
XY ∈L1 (P). Es folgt
E[XY ]= �
z P[XY = z]
z∈R\{0}
= �
�
z∈R\{0} x∈R\{0}
= �
�
y∈R\{0} x∈R\{0}
x∈R
x z
P[X = x, Y = z/x]
x
xy P[X = x] P[Y = y]
�
�
��
�
�
= x P[X = x] y P[Y = y]
= E[X] E[Y ].
Für N ∈ N sind auch die Zufallsvariablen XN := � 2 −N � 2 N |X| �� ∧ N und YN :=
� 2 −N � 2 N |Y | �� ∧ N, die nur endlich viele Werte annehmen, unabhängig, und es
gilt XN ↑|X| sowie YN ↑|Y |. Nach dem Satz von der monotonen Konvergenz
(Satz 4.20) ist daher
y∈R
E[|XY |] = lim
N→∞ E[XN YN ] = lim
N→∞ E[XN ] E[YN ]
�
= lim
N→∞ E[XN
��
] lim
N→∞ E[YN
�
] = E[|X|] E[|Y |] < ∞.
Also ist XY ∈L 1 (P). Außerdem haben wir damit den Satz gezeigt für den Fall,
wo X und Y nichtnegativ sind. Daher (und weil jede der Familien {X + ,Y + },
{X − ,Y + }, {X + ,Y − } und {X − ,Y − } unabhängig ist) gilt
E[XY ]=E[(X + − X − )(Y + − Y − )]
= E[X + Y + ] − E[X − Y + ] − E[X + Y − ]+E[X − Y − ]
= E[X + ] E[Y + ] − E[X − ] E[Y + ] − E[X + ] E[Y − ]+E[X − ] E[Y − ]
= E[X + − X − ] E[Y + − Y − ]=E[X] E[Y ]. ✷
Satz 5.5 (Wald’sche Identität). Seien T,X1,X2,... unabhängige, reelle Zufallsvariablen
in L1 (P). EsseiP[T ∈ N0] =1, und es seien X1,X2,... identisch
verteilt. Wir setzen
T�
ST := Xi.
i=1
Dann ist ST ∈L 1 (P) und E[ST ]=E[T ] E[X1].
Beweis. Setze Sn = �n i=1 Xi für n ∈ N0. DannistST = �∞ n=1 Sn {T =n}.
Nach Bemerkung 2.15 sind Sn und {T =n} unabhängig für jedes n ∈ N und damit
unkorreliert. Es folgt (mit Hilfe der Dreiecksungleichung, siehe Satz 5.3(v))