Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

24 1 Grundlagen der Maßtheorie
Beweis. Da A schnittstabil ist, folgt die Eindeutigkeit aus Lemma 1.42.
Um die Existenz zu zeigen, definieren wir wie in Lemma 1.47
μ ∗ � �
�
(A) :=inf μ(F ): F∈U(A) für jedes A ∈ 2 Ω .
F ∈F
Nach Lemma 1.31(ii) ist μ monoton, also ist μ∗ nach Lemma 1.47 ein äußeres Maß
und μ∗ (A) =μ(A) für jedes A ∈A.Wirmüssen zeigen, dass M(μ∗ ) ⊃ σ(A) gilt.
Da M(μ∗ ) eine σ-Algebra ist (Lemma 1.52), reicht es, A⊂M(μ∗ ) zu zeigen.
Seien also A ∈ A und E ∈ 2Ω mit μ∗ (E) < ∞. Seiε > 0. Dann gibt es
E1,E2,...∈Amit
E ⊂
∞�
En und
n=1
∞�
μ(En) ≤ μ ∗ (E)+ε.
n=1
Setze Bn := En ∩ A ∈A.DaA ein Semiring ist, gibt es zu jedem n ∈ N ein
mn ∈ N sowie C1 n,...,Cmn n ∈Amit En \ A = En \ Bn = mn �
Ck n.Alsoist
∞�
E ∩ A ⊂ Bn, E ∩ A c ∞�
⊂
n=1
n=1
mn �
k=1
k=1
C k n und En = Bn ⊎
μ∗ ist σ-subadditiv, und nach Voraussetzung ist μ additiv. Wegen μ∗� �A ≤ μ (es gilt
sogar Gleichheit, wie wir gleich sehen) folgt
μ ∗ (E ∩ A)+μ ∗ (E ∩ A c ) ≤
n=1
n=1
k=1
mn �
k=1
∞�
μ ∗ ∞�
(Bn)+ μ ∗� mn �
μ(C k �
n)
∞�
∞� mn �
≤ μ(Bn)+ μ(C k n)
=
=
n=1
n=1 k=1
∞�
�
mn �
μ(Bn)+ μ(C k �
n)
n=1
k=1
∞�
μ(En) ≤ μ ∗ (E)+ε.
n=1
Daher ist μ ∗ (E ∩ A) +μ ∗ (E ∩ A c ) ≤ μ ∗ (E) und damit A ∈M(μ ∗ ), also ist
A⊂M(μ ∗ ). Setze nun �μ : σ(A) → [0, ∞], A ↦→ μ ∗ (A). Nach Lemma 1.51 ist �μ
ein Maß und �μ ist σ-endlich, weil μσ-endlich ist. ✷
Beispiel 1.54 (Lebesgue-Maß, Fortsetzung von Beispiel 1.39). Wir wollen das auf
den Quadern A = {(a, b] : a, b ∈ R n ,a