Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

156 7 L p -Räume und Satz von Radon-Nikodym
Es folgt schließlich für A ∈Amit μ(A) 0
�
0ν(C)
μ(A ∩ C) ν(C)
μ(C) +
�
Kμ(C)>ν(C)
Kμ(A ∩ C) ≤ ε
+ Kμ(A) < ε.
2
Also ist (fZ, Z∈Z) gleichgradig integrierbar nach Satz 6.24(iii).
μ(A ∩ C) ν(C)
μ(C)
Gelte nun (i). Ist μ =0,soist � fdμ=0für jedes f, also ν(Ω) =0und damit
ν ≪ μ. Sei also μ �= 0.SeiA ∈Amit μ(A) =0.DannistZ = {A, A c }∈Zund
fZ = A cν(Ac )/μ(A c ). Nach Voraussetzung ist ν(Ω) = � fdμ = ν(A c ), also
ν(A) =0und damit ν ≪ μ. ✸
Definition 7.40 (Ladungsverteilung, signiertes Maß). Eine Mengenfunktion ϕ :
A → R heißt signiertes Maß oder Ladungsverteilung auf (Ω,A), falls sie σ–
additiv ist, falls also für jede Folge paarweise disjunkter Mengen A1,A2,... ∈A
gilt, dass
�
∞�
�
∞�
ϕ = ϕ(An). (7.10)
n=1
An
Die Menge aller Ladungsverteilungen bezeichnen wir mit LV = LV(Ω,A).
Bemerkung 7.41. (i) Ist ϕ ein signiertes Maß, so liegt in (7.10) automatisch schon
absolute Konvergenz vor. Tatsächlich ändert sich ja der Wert der linken Seite nicht,
wenn wir die Mengen A1,A2,... umnummerieren. Damit dies für die rechte Seite
auch gilt, muss nach dem Weierstraß’schen Umordnungssatz die Reihe absolut
konvergieren. Speziell gilt für jede Folge (An)n∈N �
paarweise disjunkter Mengen
∞
lim
n→∞
k=n |ϕ(Ak)| =0.
(ii) Ist ϕ ∈LV,soistϕ(∅) =0,daR ∋ ν(∅) = �
n∈N ν(∅).
(iii) ϕ ∈LVist im Allgemeinen nicht σ-subadditiv. ✸
Beispiel 7.42. Sind μ + ,μ − endliche Maße, so ist ϕ := μ + −μ − ∈LV. Wir werden
sehen, dass jedes signierte Maß eine solche Darstellung besitzt. ✸
Satz 7.43 (Zerlegungssatz von Hahn). Sei ϕ ein signiertes Maß. Dann gibt es
eine Menge Ω + ∈Amit ϕ(A) ≥ 0 für jedes A ∈A, A ⊂ Ω + und ϕ(A) ≤ 0 für
jedes A ∈A, A ⊂ Ω − := Ω \ Ω + . Eine solche Darstellung Ω = Ω − ⊎ Ω + wird
auch Hahn-Zerlegung von Ω (bezüglich ϕ) genannt.
n=1