Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

24 Der Poisson’sche Punktprozess
Poisson’sche Punktprozesse können als ein Grundbaustein zur Konstruktion sehr
unterschiedlicher stochastischer Objekte verwendet werden, wie etwa unbegrenzt
teilbare Verteilungen, Markovprozesse mit komplexer Dynamik, Objekte der stochastischen
Geometrie und so fort.
Wir geben in diesem Kapitel kurz den allgemeinen Rahmen zufälliger Maße an,
konstruieren den Poisson’schen Punktprozess und charakterisieren ihn durch seine
Laplace-Transformierte. Als Anwendungen konstruieren wir einen Subordinator
und zeigen, dass der Poisson’sche Punktprozess das invariante Maß von Systemen
unabhängiger Irrfahrten ist. Über den Zusammenhang zu Subordinatoren schlagen
wir im dritten Abschnitt die Brücke zu den in der Populationsgenetik wichtigen
Poisson-Dirichlet und GEM Verteilungen.
24.1 Zufällige Maße
Sei E im Folgenden ein lokalkompakter, polnischer Raum (etwa E = R d oder
E = Z d ) mit Borel’scher σ-Algebra B(E). Sei
Bb(E) = � B ∈B(E) : B ist relativ kompakt �
das System der beschränkten Borel’schen Mengen und M(E) der Raum der Radon-
Maße auf E (siehe Definition 13.3).
Definition 24.1. Wir bezeichnen mit M = σ(IA : A ∈ Bb(E)) die kleinste σ-
Algebra auf M(E), bezüglich der alle Abbildungen
messbar sind.
IA : μ ↦→ μ(A), A ∈Bb(E),
Wir schreiben B + (E) für die Menge der messbaren Abbildungen E → [0, ∞] und
BR b (E) für die Menge der beschränkten, messbaren Abbildungen E → R mit kompaktem
Träger. Das Integral If (μ) := � fdμist für jedes f ∈B + (E) wohldefiniert
und für jedes f ∈BR b (E) wohldefiniert und endlich.