Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

25.1 Das Itô-Integral bezüglich der Brown’schen Bewegung 529
Wir nennen E den Vektorraum der elementaren vorhersagbaren Prozesse und versehen
E mit einer (Pseudo-)Norm � · �E durch
�H� 2 E =
n�
i=1
E � h 2 ��
� ∞
i−1 (ti − ti−1) =E H
0
2 �
s ds .
Definition 25.3. Für H ∈E und t ≥ 0 definieren wir
und
I W t (H) =
I W ∞ (H) =
n�
i=1
� �
hi−1 Wti∧t − Wti−1∧t
n�
i=1
Offenbar ist für jede beschränkte Stoppzeit τ
E � I W τ (H) � =
=
� �
hi−1 Wti − Wti−1 .
n�
E � hi−1 (W τ ti − W τ ti−1 )�
i=1
n�
E � hi−1 E � W τ ti − W τ �
ti−1
i=1
� Fti−1
�� = 0,
da die gestoppte Brown’sche Bewegung W τ nach den Optional Stopping Theorem
ein F-Martingal ist. Also ist (wieder nach dem OST) (I W t (H))t≥0 ein F-
Martingal. Speziell ist E �� I W ti+1 (H) − IW ti (H)�� I W tj+1 (H) − IW tj (H)�� = 0 für
i �= j, also gilt
E � I W ∞ (H) 2� =
=
=
n�
i=1
n�
i=1
n�
i=1
Aus diesen Betrachtungen folgt sofort:
��IW E ti (H) − I W ti−1 (H)� 2 �
�
E h 2 � � �
2
i−1 Wti − Wti−1
E � h 2 �
i−1 (ti − ti−1) = �H� 2 E.
(25.2)
Satz 25.4. (i) Die Abbildung I W ∞ : E→L 2 (Ω,F, P) ist eine isometrische lineare
Abbildung (bezüglich � · �E und � · �2).
(ii) Der Prozess � I W t (H) �
t≥0 ist ein L2 -beschränktes, stetiges F-Martingal.
Beweis. Lediglich die Linearität ist noch zu zeigen. Dies ist aber trivial. ✷