Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

326 16 Unbegrenzt teilbare Verteilungen
die sich in der Funktion it f(x) unterscheiden, die als Zentrierung im Integral abgezogen
wird. Wir haben f(x) =x {|x|0
n Cau1/n(A) = 1
�
π
A
n2 n→∞
dx −→
1+(nx) 2 1
π
�
A
1
dx.
x2 Also hat Cau1 das kanonische Tripel � 0, 0, (πx 2 ) −1 dx � . ✸
Übung 16.1.1. Man zeige mit einem Varianzargument, dass eine unbegrenzt teilbare
Verteilung, die auf einem endlichen Intervall konzentriert liegt, schon in einem
einzigen Punkt konzentriert ist. ♣
Übung 16.1.2. Sei ϕ unbegrenzt teilbar, und für jedes n ∈ N sei ϕn eine CFW mit
ϕn n = ϕ. Man zeige mit Hilfe des Lévy’schen Stetigkeitssatzes, dass gleichmäßig
n→∞
auf kompakten Mengen ϕn −→ 1 gilt und folgere hieraus, dass ϕ(t) �= 0für
jedes t ∈ R. ♣
Übung 16.1.3. Man zeige, dass unter den Bedingungen von Satz 16.14 gilt:
α =sup � x ≥ 0: μ([0,x)) = 0 � . ♣