Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

8.3 Reguläre Version der bedingten Verteilung 179
Σ −1 = � σ 2 1σ 2 �
� 2
−1 σ1 2
−σ2 −σ
1
2 1 σ2 1 + σ2 �
2
= (σ 2 1σ 2 2) −1 B T B,
� �
σ1 −σ1
wo B =
ist, hat (X, Y ) die Dichte (siehe Beispiel 1.105(ix))
0 σ2
f(x, y) = det(2πΣ) −1/2 �
exp − 1
2σ2 1σ2 �
�
�
�
2
B
� ��2 x − (μ1 + μ2) ���
y − μ1
�
= � 4π 2 σ 2 1σ 2 �
�−1/2 2 exp − σ2 1(y − (x − μ1)) 2 + σ2 2(y − μ2) 2
2σ2 1σ2 �
2
= Cx exp � − (y − μx) 2 /2σ 2� x ,
wobei Cx eine Normalisierungskonstante ist und
μx = μ1 + σ2 1
σ2 1 + σ2 (x − μ1 − μ2)
2
und σ 2 x = σ2 1σ2 2
σ2 1 + σ2 .
2
Nach (8.9) hat P[Z1 ∈ · |Z1 + Z2 = x] die Dichte
also ist
y ↦→ fY |X(x, y) = Cx
fX(x) exp
�
−
(y − μx) 2
2σ 2 x
P[Z1 ∈ · |Z1 + Z2 = x] =N μx,σ 2 x für fast alle x ∈ R. ✸
Beispiel 8.32. Sind X und Y unabhängige, reelle Zufallsvariablen, so ist für PXfast
alle x ∈ R
P[X + Y ∈ · |X = x] =δx ∗ PY . ✸
Die Situation ist noch nicht vollends zufriedenstellend, da wir die sehr starke Annahme
gemacht haben, dass Y reellwertig ist. Ursprünglich waren wir aber auch an
einer Situation interessiert, wo Y Werte in R n annimmt, oder sogar in allgemeineren
Räumen. Wir dehnen nun das Ergebnis auf eine größere Klasse von Wertebereichen
von Y aus.
Definition 8.33. Zwei Messräume (E,E) und (E ′ , E ′ ) heißen isomorph, falls es eine
bijektive Abbildung ϕ : E → E ′ gibt, sodass ϕ messbar ist bezüglich E–E ′ und
die Umkehrabbildung ϕ −1 messbar ist bezüglich E ′ –E. Wir nennen dann ϕ einen
Messraum-Isomorphismus. Sind zudem μ und μ ′ Maße auf (E,E) und (E ′ , E ′ )
und gilt μ ′ = μ ◦ ϕ −1 ,soistϕ ein Maßraum-Isomorphismus, und die Maßräume
(E,E,μ) und (E ′ , E ′ ,μ ′ ) heißen isomorph.
Definition 8.34. Ein Messraum (E,E) heißt Borel’scher Raum, falls es eine Borel’sche
Menge B ∈B(R) gibt, sodass (E,E) und (B,B(B)) isomorph sind.
�
,