Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

536 25 Das Itô-Integral
Satz 25.21. Sei M ein stetiges lokales Martingal mit absolutstetiger quadratischer
Variation 〈M〉 und H progressiv messbar mit � T
0 H2 s d〈M〉s < ∞ f.s. für jedes
T ≥ 0. Dann ist das Itô-Integral Nt := � t
0 Hs dMs wohldefiniert und ist
ein stetiges lokales Martingal mit quadratischer Variation 〈N〉t = � t
0 H2 s d〈M〉s.
Für jede Folge (τn)n∈N mit τn ↑ ∞ und � �H (τn)�� < ∞ und jede Familie
M
(Hn,m ,n,m∈N) ⊂Emit � �Hn,m − H (τn)�� m→∞
−→ 0 gilt
M
� t
0
Hs dMs = lim
n→∞ lim
m→∞ IM t (H m,n ) für alle t ≥ 0 stochastisch.
Als gewisse Verallgemeinerung erhalten wir den folgenden Satz.
Satz 25.22. Seien M 1 und M 2 stetige lokale Martingal mit absolutstetiger quadratischer
Variation. Sei Hi progressiv messbar mit � T
0 (Hi s) 2 d〈M i 〉s < ∞ für
alle i = 1, 2 und T < ∞. SeiNi t := � t
0 Hi s dM i s für i = 1, 2. Dann sind
N 1 und N 2 stetige lokale Martingale mit quadratischer Kovariation 〈N i ,Nj 〉t =
� t
0 Hi sH j s d〈M i ,Mj 〉s.SindM1und M 2 unabhängig, so ist 〈N 1 ,N2 〉≡0.
Beweis. Seien zunächst H1 ,H2 ∈E. Dann gibt es Zahlen 0=t0