Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

442 21 Die Brown’sche Bewegung
Weiter gilt
Fτn ↓Fτ+ :=
= lim
n→∞ Ex
�
σ>τ ist Stoppzeit
Fσ ⊃ Fτ .
Nach (21.16) und (21.17) sowie dem Konvergenzsatz für Rückwärtsmartingale
(Satz 12.14) gilt also im Sinne von L1-Limiten EBτ [F (B)] = lim
n→∞ Ex
� �
F (Bτ n ��
�Fτ
+t)t≥0 n
�
� � ��
F (Bτ+t)t≥0 �Fτ n
� � � �� �
= Ex F (Bτ+t)t≥0
�Fτ+ .
Die linke Seite ist Fτ -messbar. Die Turmeigenschaft der bedingten Erwartung liefert
also (21.15). ✷
Mit Hilfe der starken Markoveigenschaft zeigen wir das Reflexionsprinzip für die
Brown’sche Bewegung.
Satz 21.19 (Reflexionsprinzip für die Brown’sche Bewegung). Für jedes a>0
und T>0 gilt
P � sup � Bt : t ∈ [0,T] � >a � =2P[BT >a] ≤ 2√ T
√ 2π
1
a e−a2 /2T .
Beweis. Wegen der Skalierungseigenschaft der Brown’schen Bewegung (Korollar
21.12) können wir ohne Einschränkung T =1annehmen. Sei τ := inf{t ≥
0: Bt ≥ a}∧1. Aus Symmetriegründen ist Pa[B1−τ >a]= 1
2 , falls τa]=P[B1 >a � �τ