Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

4 Das Integral
Nach dem Begriff des Maßraums und der messbaren Abbildung ist das Integral
messbarer reeller Abbildungen bezüglich allgemeiner Maße, nicht nur des
Lebesgue-Maßes, wie es in den meisten Analysis-Vorlesungen behandelt wird, ein
Eckstein der systematischen Wahrscheinlichkeitstheorie, der es uns beispielsweise
erlaubt, Erwartungswerte und höhere Momente zu definieren.
In diesem Kapitel definieren wir das Integral durch Approximation mit Elementarfunktionen
und leiten einfache Eigenschaften her wie das Lemma von Fatou. Die
anderen Konvergenzsätze für Integrale folgen in den Kapiteln 6 und 7.
4.1 Konstruktion und einfache Eigenschaften
Sei im Folgenden stets (Ω,A,μ) ein Maßraum. Wir bezeichnen mit E den Vektorraum
der Elementarfunktionen (siehe Definition 1.93) auf (Ω,A) und mit E + :=
{f ∈ E : f ≥ 0} den Kegel (woher der Name?) der nichtnegativen Elementarfunktionen.
Gilt
m�
f = αi Ai (4.1)
i=1
für gewisses m ∈ N und für α1,...,αm ∈ (0, ∞) sowie paarweise disjunkte Mengen
A1,...,Am ∈A, so sagen wir, dass (4.1) eine Normaldarstellung der Elementarfunktion
f ist.
Lemma 4.1. Sind f = �m i=1 αi Ai und f = �n j=1 βj Bj
lungen von f ∈ E + , so gilt
m�
αi μ(Ai) =
i=1
n�
βj μ(Bj).
j=1
zwei Normaldarstel-
Beweis. Ist μ(Ai ∩ Bj) > 0 für gewisse i und j, soistAi∩Bj �= ∅, und für jedes
ω ∈ Ai ∩ Bj ist f(ω) =αi = βj. Außerdem ist offenbar Ai ⊂ �n j=1 Bj, falls
αi �= 0und Bj ⊂ �m i=1 Ai, falls βj �= 0. Es folgt